TYT Problemler: Denklem Kurma ve Çözüm Rehberi

Metindeki Veriyi Denklem Kurulabilir Hâle Getirme

Bir problemin çözümünde ilk ayrım, verilen bilgi ile istenen bilgiyi birbirinden ayırmaktır. Örneğin "bir sayının 2 katı ile 3 katının toplamı 50" ifadesinde aranan sayı bilinmeyendir; bu sayıya x denirse 2 katı 2x, 3 katı 3x olur. Böylece metin 2x + 3x = 50 biçimine dönüşür.

Cümleleri matematiksel ifadelere çevirirken şu karşılıklar kullanılabilir:

• "Toplamı" → toplama işlemi
• "Farkı" → çıkarma işlemi; hangi niceliğin hangisinden çıkarıldığına dikkat edilmelidir.
• "Katı" → çarpma; bir sayının 3 katı 3x'tir.
• "Yarısı" → x / 2
• "Bir fazlası" → x + 1
• "Bir eksiği" → x − 1
• "En az" → ≥, "en çok" → ≤ anlamına gelebilir.

Ancak bu kelimeler tek başına yeterli değildir. "A, B'nin 2 katıdır" ifadesi A = 2B demektir; B = 2A değildir. "A, B'den 5 fazladır" ifadesi A = B + 5 biçimindedir. Denklem kurmadan önce cümlede özne olan niceliği belirlemek, yön hatalarını azaltır.

Değişkeni genellikle doğrudan sorulan nicelik için seçmek işlemleri sadeleştirir. Fakat bazı sorularda daha uygun bir temsil seçilebilir. Ardışık sayılar sorusunda ilk sayıya x denirse sayılar x, x + 1, x + 2 biçiminde yazılır. Ardışık çift sayılar ise x, x + 2, x + 4 şeklinde ifade edilir. Buradaki 2 farkı, sayıların çift olmasından ve ardışık çift sayıların arasında bir tek sayının bulunmasından kaynaklanır.

Sayı ve Yaş Sorularında İlişkiyi Korumak

Sayı problemlerinde bilinmeyenlerin birbirine nasıl bağlandığı önemlidir. İki sayının toplamı ve farkı biliniyorsa iki bilinmeyen tanımlanabilir:

x + y = toplam x − y = fark

Burada x'in büyük sayı olduğu varsayılıyorsa fark denklemi bu yönde yazılır. Eğer büyük-küçük ilişkisi belirtilmemişse, değişkenlerin hangi sırada seçildiği açıkça yazılmalıdır.

Yaş problemlerinde temel kural, aynı zaman aralığının ilgili kişilerin yaşlarına birlikte eklenmesi veya çıkarılmasıdır. Şu anda bir kişi 40, diğeri 10 yaşındaysa 5 yıl sonra yaşları 45 ve 15 olur. Yaş farkı 30 olarak kalır; çünkü iki kişinin yaşına aynı miktar eklenmiştir. Buna karşılık yaşların birbirine oranı sabit kalmaz: başlangıçta 40 / 10 = 4 iken 5 yıl sonra 45 / 15 = 3 olur.

Bu ayrım sınavda özellikle önemlidir. "Yaşları farkı" sorularında fark korunurken, "kaç katı" sorularında her zaman yeni yaşlar üzerinden oran kurulmalıdır. Örneğin "5 yıl sonra babası oğlunun kaç katı yaşında olur?" ifadesinde 40 / 10 oranı kullanılmaz; doğru oran (40 + 5) / (10 + 5) olur.

Yaşın negatif çıkması fiziksel yaş bağlamında kabul edilebilir bir sonuç değildir. Ancak zaman değişkeni veya sıcaklık farkı gibi başka niceliklerde negatif değer anlamlı olabilir. Sonuç, yalnızca cebirsel olarak değil, problemdeki niceliğin türüne göre de değerlendirilmelidir.

Hız, Yüzde ve İş Sorularında Birim ile Oran Seçimi

Hız problemlerinde temel ilişki mesafe = hız × zaman biçimindedir. Sade LaTeX gösterimiyle $d = v × t$ yazılabilir. Bu bağıntı, üç nicelikten ikisi bilindiğinde üçüncüyü bulmak için kullanılır: $v = d / t$ ve $t = d / v$. Ancak birimler aynı sisteme çevrilmeden işlem yapılmamalıdır. Hız kilometre/saat, zaman dakika verilmişse dakika saat cinsine dönüştürülmelidir.

Hız problemlerinde "gidilen yol" ile "toplam yol" da ayırt edilmelidir. Araç aynı yolu gidiş ve dönüşte alıyorsa toplam mesafe, tek yön mesafesinin iki katıdır. Farklı hızlarla gidilen yolculuklarda doğrudan hızların aritmetik ortalamasını almak genellikle doğru değildir; çünkü toplam zamanlar veya yollar eşit olmayabilir. Soruda özel olarak eşit zaman gibi bir koşul verilmedikçe, toplam yol / toplam zaman yaklaşımı kullanılmalıdır.

Yüzde sorularında yüzde, başlangıç değerinin belirli bir oranını ifade eder. Bir değerin %25'i, $25 / 100$ ile çarpılmasıdır. 80 liralık bir üründe %25 indirim 80 × 25 / 100 = 20 lira indirim demektir; ödenecek fiyat 80 − 20 = 60 liradır. Aynı işlem 80 × 75 / 100 = 60 şeklinde de yapılabilir.

İndirim ve zamlar birbirinin basitçe tersi olmayabilir. Bir değer önce %25 artırılıp sonra %25 azaltılırsa başlangıç değerine dönülmez; ikinci yüzde, artırılmış yeni değer üzerinden hesaplanır. Bu nedenle yüzde değişimlerde her adımın yeni tabanını belirtmek gerekir.

İşçi problemlerinde ise "işçi sayısı × süre" ifadesi yalnızca işçilerin hızları eşit ve çalışma koşulları aynı kabul edildiğinde doğrudan kullanılabilir. Daha genel yaklaşım, birim zamanda yapılan iş miktarını yani iş hızını kullanmaktır. Bir işçi işi t günde tamamlıyorsa bir günde yaptığı iş $1 / t$ olur. Birlikte çalışma durumunda hızlar toplanır; toplam süre, toplam işin toplam iş hızına bölünmesiyle bulunur.

Çözümlü Örnekler: Verilenlerden Sonuca Giden Yol

Örnek 1 – Sayı problemi

Verilenler: Bir sayının 2 katı ile 3 katının toplamı 50'dir. Sayı soruluyor.

Çözüm adımları:

1. Aranan sayıya x diyelim.
2. Sayının 2 katı 2x, 3 katı 3x olur.
3. Toplam bilgisi denklem hâline getirilir: 2x + 3x = 50.
4. Benzer terimler toplanır: 5x = 50.
5. Her iki taraf 5'e bölünür: x = 10.
6. Kontrol yapılır: 2 × 10 + 3 × 10 = 20 + 30 = 50.

Sonuç: Aranan sayı 10'dur. Kontrol aşaması, özellikle katsayı veya toplama hatasını fark etmek için kullanılır.

Örnek 2 – Yaş problemi

Verilenler: Bir baba 40, oğlu 10 yaşındadır. 5 yıl sonra babanın oğlunun kaç katı yaşında olacağı soruluyor.

Çözüm adımları:

1. Gelecekteki yaşlar için her iki yaşa da aynı zaman eklenir.
2. Babanın yaşı: 40 + 5 = 45.
3. Oğlun yaşı: 10 + 5 = 15.
4. Kat ilişkisi kurulurken büyük yaş küçük yaşa bölünür: 45 / 15 = 3.
5. Başlangıçtaki 40 / 10 = 4 oranı kullanılmaz; çünkü soru 5 yıl sonraki oranı istemektedir.

Sonuç: 5 yıl sonra baba, oğlunun 3 katı yaşında olur.

Örnek 3 – Yüzde problemi

Verilenler: Fiyatı 80 lira olan ürüne %25 indirim yapılmaktadır.

Çözüm adımları:

1. İndirim miktarı hesaplanır: 80 × 25 / 100 = 20 lira.
2. Ödenecek fiyat bulunur: 80 − 20 = 60 lira.
3. Alternatif kontrol: İndirimden sonra fiyatın %75'i ödenir. 80 × 75 / 100 = 60 lira.

Sonuç: Ürün için 60 lira ödenir. Burada %25, başlangıç fiyatına uygulanan indirim oranıdır; bu orana karşılık gelen indirim miktarı 20 liradır.

Soruyu Çözmeden Önce Yapılacak Beş Kontrol

Problem çözümünü hızlandırmanın güvenli yolu, her soruda aynı kısa kontrol zincirini kullanmaktır:

1. İstenen nedir? Sayı, yaş, süre, mesafe, fiyat veya oran mı aranıyor?
2. Birimler uyumlu mu? Saat-dakika, kilometre-metre veya lira-kuruş gibi farklı birimler varsa dönüştürme gerekiyor mu?
3. Değişken neyi temsil ediyor? x'in bir sayı mı, yaş mı, süre mi olduğu açıkça yazılmalı.
4. İlişkinin yönü doğru mu? "A, B'nin 3 katıdır" ile "B, A'nın 3 katıdır" aynı ifade değildir.
5. Sonuç bağlama uyuyor mu? Bir kişi sayısı, ürün sayısı veya yaş gibi niceliklerde negatif ya da uygun olmayan kesirli sonuç ayrıca sorgulanmalıdır.

Denklem çözüldükten sonra bulunan değer, mümkünse doğrudan başlangıç cümlesine yerleştirilmelidir. Bir sonuç toplamı sağlıyor olabilir; fakat fark, oran veya birim koşulunu sağlamıyorsa çözüm tamamlanmış sayılmaz. Çoktan seçmeli sorularda seçenekleri yerine koymak işe yarayabilir; ancak bu yöntem, sorudaki tüm koşulları kontrol etmenin yerine geçmez.

Sık Yapılan Hatalar ve Karıştırılan Kavramlar

Yüzde ile yüzde puanı karıştırmak: Bir değerin %25 artması ile yüzde puanın 25 artması aynı bağlamı ifade etmeyebilir. Yüzde sorularında başlangıç değerinin hangi sayı olduğu açıkça belirlenmelidir.

Yaş oranını sabit sanmak: Aynı sürenin eklenmesi yaş farkını korur, fakat yaş oranını genellikle değiştirir. Gelecek veya geçmiş yaş sorularında tüm kişilere aynı zaman uygulanmalıdır.

Hızı doğrudan ortalamak: Eşit zaman veya eşit yol koşulu verilmeden iki hızın aritmetik ortalaması genel çözüm değildir. Toplam yol ve toplam zaman ayrı ayrı ele alınmalıdır.

İşçi sayısını süreyle her koşulda çarpmak: Bu yaklaşım, işçilerin aynı hızda çalıştığı ve çalışma sürelerinin karşılaştırılabilir olduğu basit durumlarla sınırlıdır. Farklı çalışma hızlarında birim iş hızları toplanmalıdır.

"En az" ve "en çok" ifadelerini eşitlik sanmak: "En az 7" koşulu x ≥ 7, "en çok 7" koşulu x ≤ 7 anlamına gelir. Eşitsizlik sorularında sınır değerin dahil olup olmadığına dikkat edilmelidir.

Ardışık sayıların farkını yanlış almak: Ardışık tam sayılar arasında fark 1, ardışık çift veya tek sayılar arasında fark 2'dir. Sorunun sayı kümesini belirlemeden x, x + 1 yazmak hatalı olabilir.

Sadece sonuca bakmak: Negatif, sıfır veya kesirli bir cevap her durumda yanlış değildir. Sonucun uygunluğu; sorudaki niceliğin türüne, tam sayı koşuluna, pozitiflik şartına ve birimlere göre değerlendirilir.

Metindeki her sayıyı doğrudan toplamak: Bir sayı, yüzde oranı, zaman veya hız olabilir. Önce sayının hangi niceliğe ait olduğu belirlenmeli, sonra işlem seçilmelidir.