Sayı Problemleri Nasıl Çözülür? Denklem Kurma Rehberi

‘Fazlasının katı’ ile ‘katının fazlası’ arasındaki fark

İlk adım, sözel ifadede işlemlerin hangi sırayla yapıldığını belirlemektir. Bilinmeyen sayıyı x kabul edersek:

İki ifade görünüşte benzer olsa da anlamları farklıdır. ‘Bir sayının 3 katının 5 eksiği’ ifadesinde önce sayı 3 ile çarpılır, sonra 5 çıkarılır: $3x-5$. ‘Bir sayının 5 eksiğinin 3 katı’ ifadesinde önce 5 çıkarılır, sonra sonuç 3 ile çarpılır: $3(x-5)$. Aynı şekilde $2x+3$ ile $2(x+3)$ eşit değildir.

Parantez kararı için şu kontrolü yapın: Metinde bir işlemin sonucu yeniden başka bir işleme sokuluyorsa parantez gerekir. ‘Fazlasının’, ‘eksiğinin’ ve ‘toplamının’ ardından gelen kat veya kesir ifadeleri genellikle kendisinden önceki bütün ifadeyi kapsar. Buna karşılık ‘katının fazlası’ ifadesinde kat alma işlemi önce tamamlanır.

Ardışık tam, çift ve tek sayıları tek bilinmeyenle modelleme

Ardışık sayılarda bilinmeyenleri ayrı ayrı seçmek yerine aralarındaki sabit fark kullanılır. Ardışık iki tam sayı $x$ ve $x+1$ biçiminde yazılır. Ardışık üç tam sayı ise $x$, $x+1$, $x+2$ olur. Buradaki fark 1’dir.

Ardışık çift sayılar arasındaki fark 2 olduğundan iki sayı $x$ ve $x+2$ biçiminde gösterilir. Ardışık üç çift sayı $x$, $x+2$, $x+4$ şeklindedir. Ardışık tek sayılar da aynı farkı taşır: $x$, $x+2$, $x+4$. Ancak x’in çift veya tek olması, problemdeki tür koşuluna uygun seçilmelidir.

Örneğin ardışık üç tam sayının toplamı 36 ise model $x+(x+1)+(x+2)=36$ olur. Buradan $3x+3=36$ ve $x=11$ bulunur; sayılar 11, 12 ve 13’tür. Sonuçta yalnızca x’i bulmak yeterli değildir: Soru üç sayıyı istiyorsa diğer terimler de yazılmalıdır.

Ardışık sayı modelinde en sık karıştırılan nokta, çift ve tek sayılarda $x+1$ kullanılmasıdır. $x+1$, x’in türünü değiştirir; bu nedenle ardışık çift veya tek sayılar için fark 2 kullanılmalıdır.

Kesir, yüzde ve bölüm ifadelerinde bilinmeyeni korumak

Bir sayının belirli bir kesri, sayının o kesirle çarpılmasıyla gösterilir. Bir sayının üçte biri $x/3$, beşte ikisi $2x/5$ ve bir sayının yüzde 20’si $x\cdot20/100$ şeklindedir. Buradaki kesir veya yüzde, sayının kendisi değil, sayının alınan parçasıdır.

Bir ifadenin başka bir kesri isteniyorsa çarpma işlemi devam eder. Örneğin ‘x sayısının $2/3$’ünün $1/4$’ü’ ifadesi $x\cdot2/3\cdot1/4=x/6$ olur. Bu dönüşüm, ‘bir sayının 2/3’ünün 1/4’ü’ ile ‘bir sayının 2/3’üne 1/4 eklenmesi’ arasındaki farkı da görünür kılar: İlkinde çarpma, ikincisinde toplama vardır.

Kesirli denklem çözülürken paydaları ortadan kaldırmak için denklemin her iki tarafı uygun bir ortak payda ile çarpılabilir. Örneğin $x/3+4=10$ denkleminde her iki taraf 3 ile çarpılır: $x+12=30$ ve buradan $x=18$ bulunur. Bu işlemde eşitliğin yalnızca bir tarafını çarpmak doğru değildir.

Yüzde problemlerinde yüzde oranını ondalık ya da kesir olarak kullanabilirsiniz: %20, $20/100$ demektir. Ancak yüzde artışı ile yüzde azalışı aynı işlem değildir. Bir değerin %20 eksiği $x-x\cdot20/100$ iken, %20 fazlası $x+x\cdot20/100$ olur. Soruda ‘son fiyat’ ya da ‘kalan miktar’ isteniyorsa yalnızca değişim miktarını değil, değişimden sonraki toplamı hesaplayın.

İki bilinmeyeni gereksiz yere çoğaltmadan denklem sistemi kurma

İki farklı sayı hakkında iki bağımsız ilişki veriliyorsa x ve y gibi iki bilinmeyen kullanılabilir. Örneğin iki sayının toplamı 10 ise $x+y=10$ yazılır. Bu sayılardan birinin diğerinden 4 fazla olduğu belirtilirse ikinci ilişki $y=x+4$ olabilir. Böylece iki denklem elde edilir.

Bazı problemlerde ikinci bilinmeyeni ayrıca tanımlamaya gerek yoktur. İki sayının toplamı 10 ve sayılardan biri x ise diğeri doğrudan $10-x$ yazılabilir. Bu yöntem, problemi tek bilinmeyenli denkleme indirger. Hangi gösterimin daha uygun olduğu, soruda verilen ilişkinin yapısına bağlıdır.

Denklem sistemi çözümünde yerine koyma yönteminde bir denklemdeki bilinmeyen diğer denklemde kullanılır. Örneğin $x+y=10$ ve $y=x+4$ ise ikinci ifade ilk denklemde yerine yazılır: $x+(x+4)=10$. Buradan $2x=6$, $x=3$ ve $y=7$ bulunur.

Çözümün geçerli olması için her iki başlangıç koşulunu da sağlaması gerekir. Yalnızca bir denklemi sağlayan değer yeterli değildir. Ayrıca problem doğal sayı, tam sayı veya pozitif sayı koşulu veriyorsa bulunan değer bu koşulla karşılaştırılmalıdır.

Çözümlü örnekler: ifadeden denkleme, denklemden sonuca

Örnek 1 — Kat ve fazlalık ilişkisi

Verilenler: ‘Bir sayının 3 katının 5 eksiği, aynı sayının 2 katının 7 fazlasına eşittir. Bu sayı kaçtır?’

Adım 1: Bilinmeyeni seçme Bilinmeyen sayıya $x$ diyelim.

Adım 2: İfadeleri çevirme ‘3 katının 5 eksiği’ $3x-5$, ‘2 katının 7 fazlası’ ise $2x+7$ olur.

Adım 3: Eşitliği kurma İki ifade eşit olduğundan: $3x-5=2x+7$

Adım 4: Benzer terimleri ayırma Her iki taraftan $2x$ çıkarılır: $x-5=7$. Her iki tarafa 5 eklenir: $x=12$.

Adım 5: Sağlama Sol ifade: $3\cdot12-5=36-5=31$. Sağ ifade: $2\cdot12+7=24+7=31$.

Sonuç: Aranan sayı 12’dir. Sağlama sırasında iki ifadenin de 31 çıkması, yalnızca x değerinin değil kurulan ilişkinin de doğru olduğunu gösterir.

Örnek 2 — Ardışık çift sayılar

Verilenler: Ardışık iki çift sayının toplamı 26’dır. Sayıları bulunuz.

Adım 1: Uygun model seçme Ardışık çift sayılar arasındaki fark 2 olduğundan sayılar $x$ ve $x+2$ alınır.

Adım 2: Toplam denklemini kurma $x+(x+2)=26$

Adım 3: Denklemi çözme $2x+2=26$ olur. Her iki taraftan 2 çıkarılır: $2x=24$. İki taraf 2’ye bölünür: $x=12$.

Adım 4: İkinci sayıyı bulma $x+2=14$.

Adım 5: Sağlama ve tür kontrolü $12+14=26$ ve iki sayı da çifttir.

Sonuç: Sayılar 12 ve 14’tür. Burada $x$’in tek başına bulunması ara sonuçtur; sorunun istediği iki sayı olduğundan $x+2$ de hesaplanmalıdır.

Sonucu yalnızca işlemle değil, problem koşuluyla doğrulama

Denklem çözümünden sonra üç ayrı kontrol yapılmalıdır. İlk kontrol cebirseldir: Bulduğunuz değeri başlangıç denkleminde yerine koyun ve eşitliğin iki tarafının aynı olup olmadığına bakın. İkinci kontrol, sorunun türüyle ilgilidir: Ardışık çift sayı istenmişse sayılar arasındaki fark 2 ve sayıların çiftliği korunmalıdır; kesirli bir problemde payda sıfır olmamalıdır.

Üçüncü kontrol, sorunun gerçekten ne sorduğuna yöneliktir. ‘Bir sayı kaçtır?’ sorusunda x yeterli olabilir; ‘iki sayının toplamı kaçtır?’ sorusunda ise bulunan tek tek değerlerden toplam yeniden hesaplanmalıdır. Benzer biçimde bir sayının 3 fazlası isteniyorsa sonuç x değil, $x+3$ olur.

Bir sonuç negatif çıktığında bu değer otomatik olarak yanlış kabul edilmez; problemde sayıların pozitif olması şartı bulunup bulunmadığına bakılır. Buna karşılık yaş, uzunluk veya miktar gibi bağlamlarda negatif sonuç genellikle modelin, işaretin ya da sözel çevirinin yeniden incelenmesini gerektirir. Karar, problemin verdiği koşullara göre verilmelidir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

‘Fazlasının katı’ ifadesinde parantezi atlamak: $3(x+5)$ yerine $3x+5$ yazmak, önce toplama sonra çarpma sırasını değiştirir.

Ardışık çift ve tek sayılarda 1 farkı kullanmak: Bu tür sayılarda ardışıklık farkı 2’dir. $x$ ve $x+1$ modeli ardışık tam sayılar içindir.

Kesri yanlış yere uygulamak: ‘Bir sayının 3 fazlasının yarısı’ ifadesi $(x+3)/2$ olur; $x/2+3$ değildir. Kesrin hangi ifadenin tamamına uygulandığı parantezle gösterilmelidir.

Eşitliğin tek tarafında işlem yapmak: Bir denklemin bir tarafını 3 ile çarpıyorsanız diğer tarafı da 3 ile çarpmalısınız. Aksi durumda eşitlik korunmaz.

Terimleri karşıya geçirirken işareti hatalı değiştirmek: $3x-5=2x+7$ denkleminde $2x$ çıkarıldığında sol tarafta $x-5$ kalır; sabit terimi diğer tarafa geçirmek için her iki tarafa 5 eklenir.

Bulunan x’i doğrudan cevap sanmak: x bazen yardımcı bilinmeyendir. Soru $x+5$, iki sayının toplamı veya ikinci ardışık sayı gibi başka bir ifade istiyorsa son adımda bu ifade hesaplanmalıdır.

Tür koşulunu gözden kaçırmak: ‘Tam sayı’, ‘doğal sayı’, ‘çift sayı’ ve ‘tek sayı’ aynı koşul değildir. Denklem sonucu bu koşullarla karşılaştırılmadan cevap kesinleştirilmemelidir.