İşçi-Havuz Problemleri: Birim Hızla Adım Adım Çözüm

Tek başına bitirme süresinden birim hıza geçiş

Bir kaynağın tek başına bir işi tamamladığı süre $t$ ise, o kaynağın birim zamandaki işi $1/t$ olur. Burada toplam iş 1 birim alınır. Örneğin bir işçi bir işi 8 günde bitiriyorsa günlük hızı $1/8$ iş; bir musluk havuzu 10 saatte dolduruyorsa saatlik doldurma hızı havuzun $1/10$'udur.

Bu değeri yalnızca hesaplama amacıyla değil, karar vermek için de kullanırız: Birim hız büyüdükçe kaynak daha verimlidir ve aynı işi daha kısa sürede tamamlar. Örneğin $1/6$, $1/9$'dan büyük olduğu için 6 saatte bitiren kaynak, 9 saatte bitirene göre daha hızlıdır.

Aynı birim kullanılmalıdır. Biri saat, diğeri dakika cinsindeyse önce dönüşüm yapılır. Aksi hâlde $1/6+1/30$ gibi bir işlem, her iki süre aynı birimde değilse anlamlı bir toplam vermez. Kaynaklar aynı anda ve sabit hızla çalışıyorsa birlikte hızları $\frac{1}{t_1}+\frac{1}{t_2}+\cdots+\frac{1}{t_n}$ şeklinde yazılır.

Dolduran ve boşaltan musluklarda net hızın yönü

Havuzu dolduran muslukların etkisi pozitif, boşaltan muslukların etkisi negatif kabul edilir. Bu nedenle iki dolduran ve bir boşaltan musluk için net hız $\frac{1}{t_A}+\frac{1}{t_B}-\frac{1}{t_C}$ olur. Net hız, havuzun bir saatte ne kadarının dolduğunu gösterir.

Net hız $r$ ise havuzun tamamının dolma süresi $T=1/r$ olarak bulunur. Bu formül yalnızca net hız pozitifse dolma süresi verir. Net hız sıfırsa, başlangıçta boş olan havuz bu sabit hız varsayımı altında dolmaz; doldurma ve boşaltma etkileri birbirini dengeler. Net hız negatifse sistemin yönü boşalmadır ve boş havuzun dolması beklenmez.

Bir musluğun dolu havuzu tek başına 12 saatte boşaltması, onun hızını $-1/12$ olarak ifade etmeyi gerektirir. İşaret, musluğun fiziksel olarak 'negatif hızda' aktığı anlamına değil, seçilen dolma yönüne ters etki ettiği anlamına gelir. Havuzun başlangıçta dolu veya kısmen dolu olması da önemlidir; net hız aynı kalsa bile tamamlanacak iş miktarı değişir.

Kesirleri ortak iş birimine çevirerek işlem yapma

Birim hızlar kesirli olduğundan, işlem sırasında ortak payda kullanmak hata riskini azaltır. Özellikle 6, 9 ve 12 gibi sürelerde ortak payda için EKOK kullanılabilir. $6$, $9$ ve $12$'nin EKOK'u $36$ olduğundan, $\frac{1}{6}=\frac{6}{36}$, $\frac{1}{9}=\frac{4}{36}$ ve $\frac{1}{12}=\frac{3}{36}$ şeklinde yazılır.

Böylece $\frac{6}{36}+\frac{4}{36}-\frac{3}{36}=\frac{7}{36}$ elde edilir. Bu sonuç, üç musluğun net olarak bir saatte havuzun $7/36$'sını doldurduğunu söyler. Aranan süre ise bu hızın tersi olan $36/7$ saattir.

Alternatif olarak toplam işi, sürelerin uygun bir katı kadar birim kabul etmek de mümkündür. Ancak hangi yöntem seçilirse seçilsin, sonuçta bulunan 'iş' ile 'zaman' birimleri tutarlı olmalıdır. Ortak paydayı seçmek için EBOB-EKOK ilişkisini tekrar etmek isteyenler EBOB-EKOK Hesaplama bağlantısından yararlanabilir.

Bir işçi ayrıldığında veya kaynak sonradan devreye girdiğinde

Kaynakların bütün süreç boyunca çalışmadığı problemlerde tek bir toplam hız yazmak yeterli olmaz. Zaman aralıklarını ayırmak gerekir. Her aralık için yapılan iş, $\text{yapılan iş}=\text{birim hız}\times\text{çalışma süresi}$ formülüyle hesaplanır.

Örneğin A ve B birlikte $x$ saat çalışıp sonra B ayrılıyorsa, ilk bölümde yapılan iş $x(1/t_A+1/t_B)$ olur. Kalan iş $1-x\left(\frac{1}{t_A}+\frac{1}{t_B}\right)$ şeklinde bulunur. Bundan sonra yalnızca A çalışıyorsa kalan süre, kalan işin A'nın hızına bölünmesiyle hesaplanır.

Bu yöntemde en önemli kontrol, kalan işin negatif çıkmamasıdır. Negatif bir değer, işin belirtilen ayrılma zamanından önce tamamlandığını veya denklemde yanlış hız kullanıldığını gösterir. Soruda 'A, B'den 2 saat sonra ayrılıyor' deniyorsa, A ve B'nin toplam süreçte aynı süre çalıştığı varsayılmaz. Başlangıç zamanları farklı verilmişse ayrıca zaman çizelgesi oluşturulmalıdır.

İşçi sayısı değil, verimlilik oranı belirleyicidir

İşçi-havuz sorularında kişi sayısını doğrudan toplamak yalnızca tüm işçilerin hızları eşitse kullanılabilir. Farklı verimlilikteki işçilerin etkisi, tek başına bitirme süreleri veya hız oranları üzerinden değerlendirilir.

Bir işçi diğerinden iki kat hızlıysa ve yavaş işçi işi $t$ sürede bitiriyorsa hızlı işçinin süresi $t/2$ olur. Buna göre hızlar $1/t$ ve $2/t$; birlikte hız ise $3/t$'dir. Bu örnekte hızlı işçinin katkısı, yavaş işçinin katkısının iki katıdır. Dolayısıyla 'iki kişi çalışıyor, süre yarıya iner' sonucu ancak iki kişinin eşit hızda çalıştığı durumda doğrudur.

Kısmi çalışma durumlarında kişi sayısı yerine çalışma süresi de hesaba katılır. Bir işçi 3 saat boyunca $1/6$ hızla çalışırsa yaptığı iş $3\cdot1/6=1/2$ olur. Aynı işçi 1 saat daha çalışsa bile katkısı, her saat için aynı hız varsayılıyorsa, bir yarım iş daha değil yalnızca $1/6$ iş olur.

Çözümlü örnekler: net hız ve kısmi çalışma

Örnek 1 — Üç musluk aynı anda çalışıyor

Verilenler: A musluğu havuzu 6 saatte, B musluğu 9 saatte dolduruyor. C musluğu dolu havuzu 12 saatte boşaltıyor. Üçü boş havuzda aynı anda açılıyor. Aranan, havuzun dolma süresi.

1. Birim hızları yazalım. A'nın hızı $1/6$, B'nin hızı $1/9$, C'nin dolma yönüne ters hızı $-1/12$'dir.

2. Net hızı bulalım. $\frac{1}{6}+\frac{1}{9}-\frac{1}{12}$ ifadesinin ortak paydası 36'dır: $\frac{6}{36}+\frac{4}{36}-\frac{3}{36}=\frac{7}{36}$.

3. Net hızı süreye çevirelim. Bir saatte havuzun $7/36$'sı dolduğuna göre tüm havuzun dolma süresi $T=\frac{1}{7/36}=\frac{36}{7}$ saattir.

Sonuç: Havuz $36/7$ saatte, yani yaklaşık $5{,}14$ saatte dolar. Bu sonuç 6 saatten biraz kısa olmalıdır; çünkü boşaltan musluğa rağmen iki dolduran musluk birlikte çalışmaktadır.

Örnek 2 — Bir işçi ayrıldıktan sonra kalan iş

Verilenler: A bir işi 6 günde, B 9 günde bitiriyor. İkisi 3 gün birlikte çalışıyor; sonra B ayrılıyor. Kalan işi A kaç günde bitirir?

1. İlk bölümdeki ortak hızı bulalım. $\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{6}{36}+\frac{4}{36}=\frac{10}{36}=\frac{5}{18}$.

2. Üç günde yapılan işi hesaplayalım. $3\cdot\frac{5}{18}=\frac{15}{18}=\frac{5}{6}$ iş yapılmıştır.

3. Kalan işi bulalım. $1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$ iş kalır.

4. Kalan işi A'nın hızına bölelim. A'nın hızı $1/6$ iş/gün olduğundan süre $\frac{1/6}{1/6}=1$ gündür.

Sonuç: B ayrıldıktan sonra A'nın işi bitirmesi 1 gün sürer. Burada doğrudan 'A işi 6 günde bitirir' demek eksik olur; çünkü A, ilk 3 günde ortak çalışmayla işin bir bölümünü zaten tamamlamıştır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Süreleri toplamak: 6 ve 9 saatlik iki musluğun birlikte süresi $6+9=15$ veya $6/2=3$ saat değildir. Doğru işlem $1/6+1/9$ hızlarını toplamaktır.

2. Boşaltanı toplama: Boşaltan musluğun hızı dolduranlara eklenirse havuzun dolma süresi yapay olarak kısalır. Dolma yönü pozitif seçildiyse boşaltan hız çıkarılmalıdır.

3. Net hızı ters çevirmeyi unutma: $7/36$ birim zamanda yapılan iştir; süre değildir. Tüm iş için bunun tersi olan $36/7$ alınır.

4. Net hızın işaretini kontrol etmeme: Net hızın sıfır veya negatif olması hâlinde 'dolma süresi' yazılamaz. Önce sistemin gerçekten dolma yönünde ilerleyip ilerlemediği incelenmelidir.

5. Birimleri karıştırma: Saat ve dakika birlikte kullanılmamalıdır. Örneğin 2 saat ile 30 dakika aynı hız denklemine doğrudan yazılamaz; 30 dakika 0,5 saat veya 2 saat 120 dakika olarak dönüştürülmelidir.

6. Kısmi çalışmayı tek hızla çözme: Kaynaklardan biri ayrılıyor, diğeri sonradan açılıyor veya işin yalnızca bir bölümü soruluyorsa zaman aralıkları ayrılmalıdır.

7. Eşit verimlilik varsayma: İşçi sayısını iki katına çıkarmak, toplam hızı ancak işçilerin aynı hızda çalıştığı özel durumda iki katına çıkarır.

8. Başlangıç durumunu görmezden gelme: Boş havuzun dolması ile yarısı dolu havuzun tamamlanması aynı miktarda iş gerektirmez. Toplam iş 1 kabul edilse bile başlangıçta mevcut doluluk ayrıca hesaba katılmalıdır.