Karışım Problemleri Nasıl Hesaplanır?

Yüzdeyi saf madde miktarına çevirme: sorunun ilk halkası

Bir karışımın yüzde oranı, ilgilenilen maddenin toplam karışım içindeki payını gösterir. %20 tuzlu su ifadesi, karışımın her 100 biriminde 20 birim tuz bulunduğu anlamına gelir; bu oran, tuz miktarının toplam karışım miktarına bölünmesiyle elde edilir.

Temel bağıntılar şunlardır:

• $\text{Saf madde miktarı}=\text{Toplam karışım miktarı}\times\frac{\text{Yüzde}}{100}$
• $\text{Yüzde}=\frac{\text{Saf madde miktarı}}{\text{Toplam karışım miktarı}}\times100$
• $\text{Toplam karışım miktarı}=\frac{\text{Saf madde miktarı}}{\text{Yüzde}/100}$

Bu bağıntılarda yüzde, hesaplama sırasında ondalık orana çevrilir. Örneğin %15, $15/100=0{,}15$ demektir. 400 gramlık %15 tuzlu suyun tuz miktarı $400\times0{,}15=60$ gramdır. Buradaki 60 gram, toplam 400 gramın değil, yalnızca tuzun miktarıdır.

İlk kontrol olarak saf madde miktarı, toplam karışım miktarını aşmamalıdır. Ayrıca yüzde 0 ile 100 arasında olmalıdır. Sonucun %120 çıkması, çoğunlukla saf madde ile toplam miktarın karıştırıldığını veya yüzde dönüşümünün yanlış yapıldığını gösterir. Kütle verilen bir soruda gram ile kilogramı, hacim verilen bir soruda litre ile mililitreyi aynı birime çevirmeden işlem yapmak da oranı bozar.

Su ekleme ile tuz eklemenin neden farklı sonuç verdiği

Karışıma eklenen maddenin saf madde içerip içermediği, çözümün en kritik ayrımıdır. Tuzlu su örneğinde ilgilenilen saf madde tuz olsun.

1. Sadece su eklenirse: Tuz miktarı değişmez; toplam karışım miktarı eklenen su kadar artar. Bu nedenle başlangıçta saf madde miktarı pozitifse yeni yüzde azalır.
2. Saf tuz eklenirse: Tuz miktarı eklenen tuz kadar artar; toplam karışım miktarı da aynı miktarda artar. Yeni oran $\frac{S+x}{M+x}$ olur ve başlangıç oranı %100 değilse artar; başlangıç oranı %100 ise değişmez. Azalma söz konusu olamaz.
3. Tuzlu suyun bir bölümü çıkarılırsa: Çıkarılan bölümün içindeki tuz ve su birlikte çıkar. Karışım her yerde aynı oranda kabul ediliyorsa, saf madde ile toplam miktar aynı oranda azalır ve yüzde değişmez. Bu sonuç, karışımın homojen olduğu ve çıkarılan bölümün karışımın tamamını temsil ettiği varsayımına bağlıdır.

Bir karışıma saf madde içermeyen $x$ birim ekleniyor, başlangıçta $M$ birim karışımda $S$ birim saf madde bulunuyorsa yeni yüzde:

$\frac{S}{M+x}\times100$

olur. Burada $S$ sabittir; çünkü eklenen maddede ilgilenilen saf madde yoktur. Saf madde içeren $x$ birim eklenirse ve bu eklenen maddenin tamamı ilgilenilen saf maddeyse yeni oran:

$\frac{S+x}{M+x}\times100$

şeklindedir. Her iki durumda da önce miktarları güncellemek, sonra yüzdeyi hesaplamak gerekir.

İki farklı karışım birleşince neden yüzdeler toplanmaz?

İki karışımın yüzdesi doğrudan toplanamaz; çünkü yüzdeler farklı toplamlar içindeki oranları ifade eder. Birinci karışımın miktarı $M_1$, yüzdesi $p_1$; ikinci karışımın miktarı $M_2$, yüzdesi $p_2$ olsun. Yüzdeler ondalık oran olarak kullanıldığında saf madde miktarları sırasıyla $M_1p_1$ ve $M_2p_2$ olur.

Birleşik karışımın saf madde miktarı:

$S_{toplam}=M_1p_1+M_2p_2$

Birleşik karışımın toplam miktarı:

$M_{toplam}=M_1+M_2$

Buna göre yeni yüzde:

$\text{Yeni yüzde}=\frac{M_1p_1+M_2p_2}{M_1+M_2}\times100$

Bu işlem ağırlıklı ortalama mantığı taşır. Miktarı fazla olan karışımın yüzdesi, yeni sonuca daha fazla etki eder. Bu yüzden birleşik yüzde, iki başlangıç yüzdesinin arasında olmalıdır; karışımlardan biri 0, diğeri 20 ise sonuç 0 ile 20 arasında kalır. Eşit miktarda iki karışım birleştirildiğinde ise yüzdelerin aritmetik ortalaması kullanılabilir. Miktarlar eşit değilse doğrudan ortalama almak doğru değildir.

Bir karışımın yüzde değeri, eklenen ikinci karışımın yüzdesinden yüksekse ikinci karışımın eklenmesi genellikle yeni oranı aşağı çeker; düşükse yukarı çeker. Ancak kesin sayısal sonuç için saf madde miktarları hesaplanmalıdır.

Hedef yüzdeye ulaşmak için bilinmeyen miktarı denklemle kurma

Bazı sorularda yeni yüzde doğrudan sorulmaz; belirli bir yüzdeye ulaşmak için ne kadar su veya saf madde eklenmesi gerektiği aranır. Bu tip sorularda bilinmeyen miktar $x$ ile gösterilir ve işlem sonrasındaki saf madde ile toplam karışım ayrı yazılır.

Örneğin $M$ gramlık karışımda $S$ gram saf madde varsa ve yalnızca su eklenerek hedef oran $r$ yapılacaksa:

$\frac{S}{M+x}=r$

Buradan $x$ çözülür. Suyun saf madde içermediği için payda sabit kalır; yalnızca payda büyür. Hedef oran başlangıç oranından düşük olmalıdır. Çünkü yalnızca saf madde içermeyen madde eklemek, bu modelde oranı yükseltmez.

Buna karşılık saf madde ekleniyorsa denklem:

$\frac{S+x}{M+x}=r$

olur. Bu iki denklem arasındaki tek bir $x$ farkı bile çözümün sonucunu değiştirir. Soruda 'su', 'saf çözücü' veya 'saf madde içermeyen sıvı' deniyorsa ilk model; 'saf tuz', 'saf şeker' gibi ifadeler kullanılıyorsa ikinci model tercih edilir. Eklenen madde belirli bir yüzdeye sahip başka bir karışımsa, paya $x$'in tamamı değil, $x$ ile o karışımın saf madde oranının çarpımı eklenir.

Çözümlü örnekler: ekleme ve karışım birleştirme

Örnek 1 — Su eklenmesi

Verilenler: 300 gramlık karışımın %20'si tuz, karışıma 100 gram su ekleniyor. Yeni tuz yüzdesi soruluyor.

Adım 1: Başlangıçtaki tuz miktarı $300\times\frac{20}{100}=60$ gram tuz vardır.

Adım 2: İşlem sonrası miktarları yazma Eklenen su tuz içermediği için tuz miktarı 60 gram olarak kalır. Toplam karışım ise $300+100=400$ gram olur.

Adım 3: Yeni yüzdeyi hesaplama $\frac{60}{400}\times100=15$

Sonuç: Yeni karışım %15 tuz içerir. Başlangıç yüzdesi %20 iken saf madde içermeyen su eklendiği için oranın düşmesi beklenen yöndedir.

Örnek 2 — İki karışımın birleştirilmesi

Verilenler: 200 gramlık %10 tuzlu su ile 300 gramlık %20 tuzlu su birleştiriliyor. Yeni tuz yüzdesi bulunacak.

Adım 1: Birinci karışımdaki tuz $200\times0{,}10=20$ gram.

Adım 2: İkinci karışımdaki tuz $300\times0{,}20=60$ gram.

Adım 3: Tuz ve toplam karışımı toplama Toplam tuz $20+60=80$ gramdır. Toplam karışım $200+300=500$ gramdır.

Adım 4: Yeni oranı bulma $\frac{80}{500}\times100=16$

Sonuç: Birleşik karışım %16 tuzludur. Sonucun %10 ile %20 arasında çıkması, hesaplamanın yön bakımından tutarlı olduğunu gösterir. Miktarı 300 gram olan %20'lik karışım daha fazla olduğu için sonuç %20'ye, %10'luk karışımdan daha yakındır.

Bu iki örnekte ortak çözüm sırası şudur: verilen yüzdeyi miktara çevir, işlemden sonraki saf maddeyi belirle, toplam miktarı güncelle ve en son yüzdeyi hesapla.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

• Yüzdeleri toplamak: %10'luk ve %20'lik iki karışım birleşince sonuç %30 olmaz. Önce her karışımdaki saf madde miktarları bulunmalıdır.
• Eklenen suyu paydaya eklememek: Su tuz miktarını değiştirmese de toplam karışım miktarını artırır. Bu nedenle yüzde hesabının paydası değişir.
• Saf madde eklenince yalnızca payı artırmak: Saf tuz eklendiğinde toplam karışım da aynı miktarda artar. $S+x$ payının yanında $M+x$ paydası da yazılmalıdır.
• Karışımdan bir miktar alınmasını saf madde çıkarmak sanmak: Homojen karışımdan bir bölüm alınırsa, o bölümde saf madde de bulunur. Sadece saf maddenin çıkarıldığı özellikle söylenmedikçe yalnızca payı azaltmak hatalıdır.
• Homojenlik varsayımını gözden kaçırmak: Bir bölüm çıkarıldığında yüzdeyi sabit kabul etmek, karışımın her bölümünde aynı oranın bulunduğu kabulüne dayanır. Katmanlaşma veya çökelme verilmişse bu varsayım otomatik olarak kullanılamaz.
• Birimleri karıştırmak: 2 kilogram ile 300 gram doğrudan toplanmaz; 2 kilogram 2000 grama çevrilmelidir. Hacim sorularında da litre ve mililitre aynı birime getirilmelidir.
• Saf madde ile saf karışımı karıştırmak: %20 tuzlu su, saf tuz değildir; yalnızca toplamın %20'si tuzdur. 'Saf tuz ekleniyor' ifadesi ile '%20 tuzlu su ekleniyor' ifadesi aynı matematiksel işlemi oluşturmaz.
• Sonucu sınamamak: Yeni yüzde, yalnızca su ekleniyorsa başlangıç yüzdesinden düşük; iki karışım birleşiyorsa başlangıç yüzdelerinin arasında olmalıdır. Sonuç bu beklentiyle çelişiyorsa miktar güncellemesi tekrar kontrol edilmelidir.