TYT Oran Orantı: Doğru, Ters ve Karışım Problemleri

Oranı yazarken sıra, birim ve payda neden önemlidir?

a ve b iki çokluk olmak üzere a'nın b'ye oranı $\frac{a}{b}$ veya $a:b$ biçiminde yazılır. Burada b'nin sıfır olmaması gerekir; çünkü sıfıra bölme tanımlı değildir. Oranın yönü değiştiğinde sonuç da değişir: 15 kız ve 10 erkek bulunan bir sınıfta kızların erkeklere oranı $\frac{15}{10}=\frac{3}{2}$ iken erkeklerin kızlara oranı $\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$ olur.

$3:2$ oranı, kız ve erkek sayılarının mutlaka 3 ve 2 olduğu anlamına gelmez. Bu ifade, her 2 erkek öğrenciye karşılık 3 kız öğrenci bulunduğunu; yani iki sayının 3 ve 2'nin aynı katları olabileceğini anlatır. Genel gösterim $3k$ ve $2k$ şeklindedir. Toplam öğrenci sayısı 25 ise $3k+2k=25$ yazılır ve $k=5$ bulunur; kız sayısı 15, erkek sayısı 10 olur.

Oranları sadeleştirmek, karşılaştırmanın özünü değiştirmez: $15:10=3:2$. Ancak birimler aynı türden değilse ifadeyi otomatik olarak birimsiz kabul etmek doğru değildir. Örneğin 120 kilometrenin 3 saate oranı $40$ kilometre/saat hız verir; bu, iki uzunluğun oranı olan $3:2$ gibi birimsiz bir oran değil, birim taşıyan bir bölme sonucudur. TYT'de birimlerin aynı olup olmadığını ve sorunun 'oran' mı yoksa 'birim başına değer' mi istediğini kontrol edin.

Orantı eşitliğinde bilinmeyeni kurmanın mantığı

Orantı, iki oranın eşitliğidir: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$. Paydalar sıfırdan farklıysa her iki taraf uygun ortak çarpanla çarpılabilir ve $a\cdot d=b\cdot c$ elde edilir. Buna dışlar çarpımı = içler çarpımı denir. Buradaki 'dışlar' a ve d, 'içler' b ve c'dir.

Örneğin $\frac{2}{3}=\frac{8}{x}$ ise $2x=3\cdot8$ yazılır. Buradan $2x=24$ ve $x=12$ bulunur. Sonuç, başlangıçtaki eşitlikte yerine konularak kontrol edilebilir: $\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$.

Bu kural, sayıları çapraz çarpmak için ezberlenmiş bağımsız bir yöntem değildir; kesirli iki ifadenin eşitliğinden türetilir. Bu nedenle önce karşılaştırılan büyüklükleri aynı sırada yazmak gerekir. 'Kalem sayısı/fiyat' oranını bir satırda, 'kalem sayısı/fiyat' yerine sonraki satırda 'fiyat/kalem sayısı' olarak yazmak yanlış bir orantı kurabilir. Ayrıca oranı kurmadan önce birimleri eşitlemek gerekebilir: 2 metre ile 50 santimetre karşılaştırılacaksa 2 metre = 200 santimetre dönüşümü yapılmalıdır.

Doğru orantıyı yalnızca aynı yönde değişimden ayırmak

İki çokluk arasında doğru orantı olması için birinin diğerinin sabit bir katı olması gerekir. $y=kx$ biçiminde, $k$ sabit olmak üzere yazılabilen ilişkide $\frac{y}{x}=k$ sabittir. Bu koşul sağlanıyorsa x 2 katına çıktığında y de 2 katına çıkar; x yarıya inerse y de yarıya iner.

Örneğin bir ürünün birim fiyatı değişmiyorsa toplam fiyat ile ürün miktarı doğru orantılıdır. 2 kilogram elma 10 TL ise birim fiyat 5 TL/kg'dır. Aynı fiyat koşulu sürerken 4 kilogram için $4\cdot5=20$ TL bulunur. Burada doğru orantıyı sağlayan esas neden, kilogram başına fiyatın sabit olmasıdır.

Sadece iki çokluğun birlikte artması doğru orantı kanıtı değildir. Kademeli indirim, sabit açılış ücreti, kapasite sınırı veya değişken birim fiyat varsa toplam değer $y=kx$ biçiminde olmayabilir. Örneğin taksi ücretinde açılış ücreti varsa ücret ile yol arasındaki ilişki, yalnızca yol ile sabit birim ücret çarpımı değildir. TYT sorusunda 'her birinin fiyatı aynıdır', 'sabit hızla' veya 'aynı verimle' gibi koşullar doğru orantının gerekçesini gösterir.

Ters orantıda sabit kalan çarpanı bulmak

Ters orantıda iki çokluğun çarpımı sabittir: $y=\frac{k}{x}$ ve dolayısıyla $x\cdot y=k$. Bu ilişki, bir çokluk 2 katına çıktığında diğerinin yarıya inmesini açıklar. Fakat yalnızca birinin artıp diğerinin azalması ters orantı için yeterli değildir; ürünün sabit kaldığı gösterilmelidir.

İşçi-gün sorularında ters orantı modeli, işçilerin aynı verimle çalıştığı, iş miktarının değişmediği ve çalışma koşullarının aynı kaldığı durumda kullanılabilir. 5 işçi bir işi 10 günde tamamlıyorsa toplam iş yükü işçi-gün cinsinden $5\cdot10=50$'dir. 10 işçi aynı verimle çalışırsa süre $10\cdot x=50$ denklemiyle $x=5$ gün bulunur.

Buna karşılık işçilerin verimleri farklıysa, işe sonradan eklenen kişiler tam gün çalışmıyorsa veya işin bir bölümü makineye bağlıysa yalnızca işçi sayısı ile gün sayısını çarpmak uygun olmayabilir. Benzer şekilde hız-zaman sorularında yol sabitse $v\cdot t$ sabittir ve hız ile zaman ters orantılıdır; fakat yol da değişiyorsa bu iki büyüklük arasında doğrudan ters orantı kurulamamaktadır.

Üçlü oranı toplam miktara dönüştürme yöntemi

Birden fazla bileşenin oranı verildiğinde en güvenilir yöntem, oranı ortak bir katsayıyla ifade edip toplamı bu katsayı üzerinden yazmaktır. Örneğin $a:b:c=4:6:15$ ise bileşenler $4k$, $6k$ ve $15k$ olarak düşünülebilir. Toplam 1250 gram olduğunda:

$4k+6k+15k=1250$

$25k=1250$ ve $k=50$ gramdır. Buna göre a maddesi $4\cdot50=200$ gram, b maddesi $6\cdot50=300$ gram, c maddesi $15\cdot50=750$ gramdır. Son kontrol $200+300+750=1250$ gram şeklindedir.

İki oran aynı ortak terimi içermiyorsa önce bu terim eşitlenmelidir. $a:b=2:3$ ve $b:c=2:5$ verilsin. İlk oranı b değeri 6 olacak biçimde $a:b=4:6$, ikinci oranı da $b:c=6:15$ yazarsak $a:b:c=4:6:15$ elde edilir. Bu adım atlanırsa 2, 3, 2 ve 5 sayılarını doğrudan yan yana koymak yanlış toplam oran verebilir.

Karışım sorularında oran, çoğunlukla bileşenlerin miktarlarını anlatır. Ancak 'su:şurup=2:3' ifadesi toplam karışımın 2/3'ünün su olduğunu değil, su miktarının şurup miktarına oranının 2/3 olduğunu söyler. Toplam karışım 5 eş parçaya ayrılır; su 2, şurup 3 parçadır.

Çözümlü örnekler: veri düzeninden sonuca

Örnek 1 — Doğru orantı:

Verilenler: 3 işçi, aynı verimle ve aynı sürede günde 12 metre yol yapıyor. 5 işçinin bir günde yapacağı yol x metre olsun.

1. Değişen çoklukları belirleyin: İşçi sayısı 3'ten 5'e çıkıyor; günlük yol miktarı bilinmiyor.
2. Koşulu yorumlayın: Süre, işçilerin verimi ve çalışma koşulları sabit kabul edildiği için işçi sayısı ile günlük yol doğru orantılıdır.
3. Aynı sırayı koruyarak oranı kurun: $\frac{3}{5}=\frac{12}{x}$.
4. Çapraz çarpın: $3x=5\cdot12=60$.
5. Bilinmeyeni çözün: $x=20$.
6. Kontrol edin: İşçi sayısı $\frac{5}{3}$ katına çıktığı için yolun da $\frac{5}{3}$ katına çıkması beklenir; $12\cdot\frac{5}{3}=20$.

Sonuç: 5 işçi, belirtilen sabit koşullarda bir günde 20 metre yol yapar.

Örnek 2 — Ortak terimli karışım oranı:

Verilenler: $a:b=2:3$, $b:c=2:5$ ve toplam kütle 1250 gram.

1. Ortak terim b'dir. İlk oranı b'nin değeri 6 olacak şekilde genişletin: $a:b=4:6$.
2. İkinci oranda b zaten 2 olduğundan 3 ile genişletin: $b:c=6:15$.
3. Oranları birleştirin: $a:b:c=4:6:15$.
4. Toplam oran birimlerini bulun: $4+6+15=25$.
5. Bir oran biriminin kütlesini hesaplayın: $1250\div25=50$ gram.
6. Her bileşeni bulun: $a=4\cdot50=200$ gram, $b=6\cdot50=300$ gram, $c=15\cdot50=750$ gram.
7. Kontrol edin: $200+300+750=1250$ gram ve oranlar $200:300=2:3$, $300:750=2:5$ koşullarını sağlar.

Sonuç: Bileşenlerin kütleleri sırasıyla 200, 300 ve 750 gramdır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

• Oranın yönünü değiştirmek: 'A'nın B'ye oranı' $A/B$ demektir; $B/A$ yazmak farklı bir soruyu cevaplar.

• Doğru ve ters orantıyı yalnızca artma-azalmaya göre seçmek: Bir büyüklük artarken diğeri azalabilir, fakat ters orantı diyebilmek için çarpımın sabit kalması gerekir. Doğru orantı için de oranının sabitliği aranır.

• Ters orantıda toplamak: 5 işçi 10 gün örneğinde $5+10$ veya fark üzerinden işlem yapılmaz; sabit kalan büyüklük işçi-gün çarpımıdır.

• Karışım oranını toplam oran sanmak: $a:b=2:3$ ifadesinde toplam 5 birimin 2'si a, 3'ü b'dir. a'nın toplam içindeki payı $2/5$ olur; $2/3$ değildir.

• Ortak terimi eşitlemeden oranları birleştirmek: $a:b=2:3$ ve $b:c=2:5$ oranlarında b'nin iki farklı sayı olarak bırakılması zinciri bozar.

• Birimleri karşılaştırmadan oran kurmak: Metre-santimetre veya saat-dakika birlikte verilmişse önce dönüşüm yapın. Hız hesaplanırken sonuç biriminin kilometre/saat ya da metre/saniye olup olmadığını yazın.

• Sıfır ve negatif değerleri göz ardı etmek: Oranın paydası sıfır olamaz. Ayrıca işçi sayısı, süre ve kütle gibi bağlamlarda genellikle pozitif değerler söz konusudur; cebirsel bir oranı gerçek hayat değişkenlerine aktarırken bu bağlam koşulu korunmalıdır.

• Sonucu kontrol etmemek: Doğru orantıda artış yönü, ters orantıda azalış yönü ve toplam miktar kontrol edilmelidir. 5 işçinin sonucunun 3 işçiden daha az günlük yol göstermesi, verilen modelle çelişen bir işarettir.