Rasyonel Sayılar: Tanım, İşlemler ve TYT Rehberi

a/b yazılışında payda koşulu ve sayı kümesinin sınırları

Bir rasyonel sayı, a ve b tam sayılar olmak üzere a/b biçiminde yazılabilir; ancak b ≠ 0 olmalıdır. Bu gösterim rasyonel sayının tanımıdır:

$Q = {a/b | a,b ∈ Z ve b ≠ 0}$

Burada a pay, b paydadır. Pay, alınan veya temsil edilen miktarın sayısal kısmını; payda ise bölme ya da eş parçalara ayırma ölçüsünü belirtir. Paydanın sıfır olması kabul edilmez, çünkü sıfıra bölme tanımsızdır. Bu nedenle 4/0 rasyonel sayı değildir.

Her tam sayı da rasyoneldir; çünkü paydası 1 seçilebilir. Örneğin -5 = -5/1 ve 8 = 8/1 biçiminde yazılır. Sıfır da rasyoneldir: 0/1 = 0. Ancak 0/0 ifadesi rasyonel sayı gösterimi değildir; burada payda sıfırdır.

Negatif işaret payda yerine paya taşınabilir: 3/(-4) = -3/4. Genellikle işaretin payda bırakılmaması, karşılaştırma ve işlem hatalarını azaltır. Aynı sayı farklı kesirlerle de gösterilebilir: 1/2 = 2/4 = 50/100. Bu eşitlikte pay ve paydayı aynı sıfırdan farklı sayıyla çarpmak her zaman eşdeğer kesir verir; bölme ise ancak pay ve paydanın bu sayıya bölünmesiyle yine tam sayılar elde edildiğinde, genellikle ortak bir bölenle yapılabilir.

Kesir, ondalık ve yüzde gösterimleri arasında dönüşüm

Bir rasyonel sayının gösterimi değişebilir; sayı değişmez. Kesirden ondalığa geçmek için pay, paydaya bölünür. Örneğin 3/4 = 0,75’tir. Ondalık gösterim sonlu bitiyorsa bu değer doğrudan kesre çevrilebilir: 0,75 = 75/100 = 3/4.

Sonlu ondalıkların yanı sıra devirli ondalıklar da rasyoneldir. 0,333... = 1/3 örneğinde 3 rakamı sürekli tekrar eder. Devirli ondalık ile sonlu ondalık birbirinden ayrılmalıdır: 0,5 sonlu, 0,333... ise devirlidir; ikisi de rasyoneldir.

Yüzde ifadesi, paydası 100 olan bir kesir anlamına gelir. Bu nedenle %75 = 75/100 = 3/4 ve %20 = 20/100 = 1/5 olur. Bir kesri yüzdeye çevirmek için 100 ile çarpılır: 3/4 × 100 = 75.

Bir ondalığın sonlu olup olmadığını kesir sadeleştirildikten sonra incelemek gerekir. Sadeleştirilmiş paydanın asal çarpanları yalnızca 2 ve 5 ise ondalık gösterim sonlu olur; başka bir asal çarpan varsa gösterim devirli olur. Örneğin 3/8’in paydası 8 = 2³ olduğundan 0,375 şeklinde biter. 1/3’ün paydasında 3 bulunduğu için 0,333... biçiminde devirlidir.

Sayı doğrusunda rasyonelleri karşılaştırma ve sıralama

Rasyonel sayılar sayı doğrusunda gösterilebilir. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundakiler negatiftir. Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür; bu nedenle -1/4 > -3/4 olur.

Paydaları aynı olan pozitif kesirlerde payı büyük olan daha büyüktür: 5/9 > 2/9. Payları aynı ve pozitif olan kesirlerde ise paydası küçük olan daha büyüktür: 3/5 > 3/8’dir; çünkü paylar eşit ve pozitif olduğunda paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Bu kural yalnızca paylar eşit ve kesirler pozitif olduğunda doğrudan kullanılmalıdır.

Paydalar farklıysa güvenli yöntem ortak payda bulmak veya çapraz çarpma yapmaktır. Pozitif paydalı a/b ve c/d için karşılaştırma, ad − bc işaretine bakılarak yapılabilir. $ad > bc$ ise $a/b > c/d$, $ad = bc$ ise iki kesir eşittir, $ad < bc$ ise $a/b < c/d$ olur.

Örneğin 5/12 ile 2/5’i karşılaştıralım: 5 × 5 = 25 ve 2 × 12 = 24 olduğundan 5/12 > 2/5’tir. Ondalık gösterime çevirmek de mümkündür; ancak devirli sayılarda çapraz çarpma çoğu zaman daha güvenlidir.

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölmede işlem sırası

Toplama ve çıkarma işlemlerinde önce ortak payda oluşturulur. Paydalar eşit değilse paylar doğrudan toplanmaz. Örneğin 1/3 + 1/4 işleminde ortak payda 12 seçilir: 1/3 = 4/12 ve 1/4 = 3/12; sonuç 7/12 olur.

Çarpma işleminde paylar kendi arasında, paydalar kendi arasında çarpılır. İşleme başlamadan önce çapraz sadeleştirme yapılabilir: $2/3 × 3/5$ işleminde 3’ler sadeleşir ve sonuç 2/5 olur. Sadeleştirme yalnızca çarpılan bir pay ile diğer kesrin paydası arasında yapılabilir; aynı kesrin payı ve paydası arasında yapılan işlem ise normal sadeleştirmedir.

Bölmede ikinci kesir, sıfır olmayan bir sayı olmak koşuluyla ters çevrilip çarpılır: $2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6$. Bölünen kesir değil, bölen olan ikinci kesir ters çevrilir. İkinci kesir 0 ise sıfıra bölme oluşacağından işlem tanımsızdır.

Negatif işaretlerde çarpma ve bölme için işaret kuralları geçerlidir: aynı işaretli iki sayıdan pozitif, farklı işaretli iki sayıdan negatif sonuç çıkar. Toplama ve çıkarmada ise sayı doğrusunu veya ortak paydayı düşünmek gerekir. İşlem sonunda kesri sadeleştirmek, hem sonucu standart biçime getirir hem de seçeneklerle karşılaştırmayı kolaylaştırır.

Çözümlü örnekler: dönüşüm, sıralama ve karma işlem

Örnek 1 — Bir kesri yüzde ve ondalık biçimine çevirme

Verilen: $3/8$.

1. Ondalık biçim için 3’ü 8’e bölelim: $3 ÷ 8 = 0,375$.
2. Yüzde biçimi için kesri 100 ile çarpalım: $3/8 × 100 = 300/8 = 37,5$.
3. Sonuçlar: $3/8 = 0,375 =$.

Kontrol: %37,5’in 100’e bölünmesi 0,375 verir. Böylece üç gösterimin aynı değeri verdiği doğrulanır.

Örnek 2 — Farklı paydalı kesirlerle işlem

Verilen: $5/6 - 1/4 + 1/3$.

1. Paydaların ortak katı 12’dir.
2. Kesirleri 12 paydasında yazalım: $5/6 = 10/12$, $1/4 = 3/12$, $1/3 = 4/12$.
3. Payları işlem sırasına göre birleştirelim: $10/12 - 3/12 + 4/12 = 11/12$.
4. 11 ile 12’nin ortak böleni olmadığı için sonuç sadeleşmez.

Sonuç: $11/12$.

Örnek 3 — Bölme işleminde ters çevirme

Verilen: $7/10 ÷ 14/15$.

1. İkinci kesri ters çevirerek çarpma işlemine dönüştürelim: $7/10 × 15/14$.
2. Çapraz sadeleştirelim: 7 ile 14 sadeleşerek 1 ve 2; 15 ile 10 sadeleşerek 3 ve 2 olur.
3. Kalan çarpım $1/2 × 3/2 = 3/4$.

Sonuç: $3/4$. Bölünen kesri ters çevirmek bu örnekte yanlış sonuç verir; ters çevrilen kesir, bölme işaretinin sağındaki kesirdir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Paydaları doğrudan toplamak: $1/3 + 1/4$ işlemini 2/7 yapmak yanlıştır. Toplama ve çıkarma için ortak payda gerekir; doğru sonuç 7/12’dir.

2. Büyük paydayı büyük sayı sanmak: Paylar eşit olduğunda pozitif kesirlerde paydası küçük olan daha büyüktür. 3/5 > 3/8 örneğinde 5’in 8’den küçük olması sonucu belirler; paydayı tek başına büyüklük ölçüsü gibi yorumlamak hatalıdır.

3. Negatif kesirleri yanlış sıralamak: -3/4, -1/4’ten küçüktür; çünkü sayı doğrusunda daha soldadır. Pozitif kesirlerde kullanılan sezgisel 'payı büyük olan büyüktür' yaklaşımı negatiflerde doğrudan uygulanamaz.

4. Bölmede yanlış kesri ters çevirmek: $a/b ÷ c/d$ işlemi, $a/b × d/c$ olur. İlk kesir değil, ikinci kesir ters çevrilir. Ayrıca c/d’nin sıfır olmaması gerekir.

5. Sıfır payda ile sıfır payı karıştırmak: 0/7 = 0 rasyoneldir; 7/0 tanımsızdır. Payın sıfır olması mümkündür, paydanın sıfır olması mümkün değildir.

6. Her sonsuz ondalığı irrasyonel sanmak: 0,333... gibi devirli sonsuz ondalıklar rasyoneldir. Rasyonel olmayan sayılar, sonlanmayan ve düzenli bir devir oluşturmayan ondalık gösterimlere örnek olarak verilebilir; ancak bu ayrım yapılırken sayının gösterimindeki tekrar düzenine bakılmalıdır.

7. Sadeleştirmeyi toplama içinde yanlış kullanmak: $(2+3)/(4+5)$ ifadesinde 2 ile 4’ü veya 3 ile 5’i rastgele sadeleştirmek mümkün değildir. Sadeleştirme, çarpanlar arasında yapılır; toplam veya fark terimlerinde ortak çarpan açıkça ayrılmadan uygulanmaz.