EBOB ve EKOK: Bölme ve Tekrarlama Sorularını Çözme Rehberi

Bir sayının böleniyle katı arasındaki yön farkı

Bir sayı diğerini kalansız bölüyorsa, küçük sayı büyük sayının bölenidir; büyük sayı da küçük sayının katıdır. Bu yön farkı EBOB ile EKOK'u ayırmanın temelidir.

24'ün pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ve 24'tür. 36'nın pozitif bölenleri ise 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ve 36'dır. İki listedeki ortak değerler 1, 2, 3, 4, 6 ve 12 olduğundan en büyük ortak bölen 12'dir.

Katlarda ise listeleme ters yönde düşünülür. 24'ün katları 24, 48, 72, 96, 120, 144 şeklinde; 36'nın katları 36, 72, 108, 144 şeklinde ilerler. İlk ortak değer 72 olduğu için EKOK 72'dir.

Karar kuralı şöyledir: Sonuç, verilen sayıların her birini kalansız bölen en büyük sayıysa EBOB; verilen sayıların her birine kalansız bölünen en küçük sayıysa EKOK aranır. Bu iki cümledeki bölme yönü ve en büyük-en küçük koşulu, sınav sorularında en sık yapılan kavram hatasını önler.

Asal çarpanlarda EBOB için neden küçük üs seçilir?

Bir sayının asal çarpan gösteriminde her asal, belirli bir üsse sahip olabilir. Örneğin 48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5'tir.

EBOB, iki sayıda da bulunan asal çarpanlardan oluşur. Ancak ortak bir asal çarpanın her iki sayıda bulunabilen miktarı, küçük üs kadar olabilir. 48'de dört tane 2 çarpanı, 60'ta iki tane 2 çarpanı bulunduğu için ortak kısımda en fazla iki tane 2 alınır. 3 her iki sayıda da birer kez bulunduğundan bir tane 3 alınır. 5 ise 48'de bulunmadığı için EBOB'a girmez.

Bu nedenle: $EBOB(48,60)=2^2 \times 3=12$

Yorum şudur: EBOB, iki sayının asal çarpan gösterimindeki kesişimi temsil eder. Bir asal çarpan yalnızca bir sayıda varsa ortak bölen oluşturmaz; iki sayıda da varsa küçük üs belirleyici olur. Bu yüzden EBOB için 'ortak asalların küçük üsleri' kuralı kullanılır.

EBOB, kesir sadeleştirmede de aynı mantıkla çalışır. $24/36$ kesrinde pay ve paydayı ortak bölenlerin en büyüğü olan 12'ye böleriz: $24 \div 12=2$ ve $36 \div 12=3$. Sonuç $24/36=2/3$ olur. EBOB ile bölmek, pay ve paydayı aynı sayıya bölerek kesrin değerini değiştirmeden daha sade gösterim elde etmeyi sağlar.

EKOK için tüm asal çarpanlarda neden büyük üs seçilir?

EKOK, verilen sayıların her birinin katı olmalıdır. Bu nedenle bir asal çarpanın, sayılardan herhangi birindeki en yüksek kuvveti kadar alınması gerekir. Daha küçük üs seçilirse, yüksek üs içeren sayı EKOK'u kalansız bölemez.

48 = 2⁴ × 3 ve 60 = 2² × 3 × 5 olduğuna göre tüm asal çarpanlar 2, 3 ve 5'tir. 2 için büyük üs 4, 3 için büyük üs 1, 5 için büyük üs yine 1'dir: $EKOK(48,60)=2^4 \times 3 \times 5=240$.

240'ın 48'e bölümü 5, 60'a bölümü 4'tür. Böylece 240 hem 48'in hem 60'ın katıdır. Daha küçük bir ortak kat olsaydı, 2⁴, 3 ve 5 çarpanlarını birlikte taşıması gerekirdi; asal çarpan gösterimindeki en küçük uygun değer 240'tır.

Karar kuralı: Bir sonuç, verilen sayıların tamamına bölünebilmeli ve en küçük such değer isteniyorsa EKOK aranır. Periyodik olayların aynı anda gerçekleşmesi, farklı aralıkların ortak zamana taşınması ve farklı paydaların ortak paydada birleştirilmesi bu yapıya örnektir. Kesirlerde toplama veya çıkarma yaparken ortak payda genellikle paydaların EKOK'udur; ancak bulunan ortak paydanın en küçük olması işlemi gereksiz büyütmeyi önler.

EBOB-EKOK çarpım bağıntısı ne zaman kullanılabilir?

İki pozitif doğal sayı için şu bağıntı kullanılabilir: $EBOB(a,b) \times EKOK(a,b)=a \times b$.

Bu bağıntı, iki sayıdan biri ve diğerine ilişkin EBOB veya EKOK bilgisi biliniyorsa eksik değeri bulmayı sağlar. Örneğin $EBOB(24,36)=12$ ve $24 \times 36=864$ olduğundan: $EKOK(24,36)=864 \div 12=72$.

Bağıntı aynı zamanda hesap kontrolü için kullanılabilir. 48 ve 60 için bulunan değerler 12 ve 240'tır. Sol taraf $12 \times 240=2880$, sağ taraf ise $48 \times 60=2880$ olduğundan sonuçlar birbiriyle uyumludur.

Özel bir durum da sayıların birbirinin katı olmasıdır. 12, 24'ü kalansız böldüğü için 12 ve 24'ün ortak bölenlerinin en büyüğü küçük sayı olan 12; ortak katlarının en küçüğü ise büyük sayı olan 24'tür: $EBOB(12,24)=12$ ve $EKOK(12,24)=24$.

Aralarında asal sayılarda ise ortak bölen yalnızca 1 olduğundan EBOB 1 olur. 7 ve 9 için $EBOB(7,9)=1$ ve bağıntıdan $EKOK(7,9)=7 \times 9=63$ bulunur. Buradaki sonuç, sayıların aralarında asal olması koşuluna bağlıdır; her iki sayı için EKOK doğrudan çarpıma eşit değildir.

Çözümlü örnek: eşit gruplara ayırmada EBOB

Verilenler: Bir okul etkinliğinde 48 kız ve 60 erkek öğrenci vardır. Her grupta eşit sayıda kız ve eşit sayıda erkek bulunacak, ayrıca hiç öğrenci artmayacaktır. En fazla kaç grup kurulabilir?

1. İstenen ilişkiyi belirleyelim. Grup sayısı hem 48'i hem 60'ı kalansız bölmelidir. En fazla grup istendiği için ortak bölenlerin en büyüğü, yani EBOB aranır.

2. Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: $48=2^4 \times 3$, $60=2^2 \times 3 \times 5$.

3. Ortak asal çarpanların küçük üslerini seçelim: $EBOB(48,60)=2^2 \times 3=12$.

4. Grup içeriğini kontrol edelim. Kız sayısı: $48 \div 12=4$. Erkek sayısı: $60 \div 12=5$.

Sonuç: En fazla 12 grup kurulabilir ve her grupta 4 kız ile 5 erkek bulunur. Burada EKOK kullanılamaz; çünkü amaç sayıların ortak katını bulmak değil, mevcut öğrenci sayılarını eşit biçimde bölen en büyük grup sayısını bulmaktır.

Çözümlü örnek: tekrar eden seferlerde EKOK

Verilenler: İki otobüsten biri 48 dakikada bir, diğeri 60 dakikada bir kalkıyor. İkisi aynı anda kalktıktan kaç dakika sonra yeniden aynı anda kalkar?

1. İstenen ilişkiyi belirleyelim. İlk otobüsün kalkış zamanları 48'in katları; ikinci otobüsün kalkış zamanları 60'ın katlarıdır. Yeniden aynı anda kalkış için ortak katların en küçüğü aranır.

2. Asal çarpan gösterimlerini yazalım: $48=2^4 \times 3$, $60=2^2 \times 3 \times 5$.

3. Tüm asal çarpanlarda büyük üsleri seçelim: $EKOK(48,60)=2^4 \times 3 \times 5=240$.

4. Sonucu yorumlayalım. 240 dakika, 48'in 5 katı ve 60'ın 4 katıdır: $48 \times 5=240$, $60 \times 4=240$.

Sonuç: Otobüsler 240 dakika, yani 4 saat sonra yeniden aynı anda kalkar. Soruda 'kaç dakika sonra tekrar', 'aynı anda', 'yeniden buluşma' gibi ifadeler bulunması, verilen sayıların zaman aralıkları olduğu ve EKOK aranması gerektiği konusunda güçlü bir ipucudur.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. EBOB ile EKOK'un görevini ters çevirmek: Eşit paylaştırma ve artmama ifadeleri bölen ilişkisine, tekrar aynı zamana gelme ifadeleri kat ilişkisine işaret eder. Önce sorunun istediği sonucun verilen sayıları bölmesi mi, yoksa verilen sayıların sonucu bölmesi mi gerektiğini yazın.

2. EBOB'da büyük, EKOK'ta küçük üs almak: 48 ve 60 örneğinde EBOB için 2², EKOK için 2⁴ alınır. EBOB ortak kısmı, EKOK ise tüm sayıların ihtiyaç duyduğu asal çarpanları kapsar.

3. Sadece ortak asal çarpanları EKOK'a almak: 5, 48'in çarpanında bulunmasa da 60'ın katı olacak bir sayıda bulunması gerekir. Bu yüzden EKOK hesabında 5 de yer alır.

4. EBOB-EKOK çarpım bağıntısını her durumda koşulsuz kullanmak: Bu rehberde bağıntı iki pozitif doğal sayı için ele alınmıştır. Sıfır veya negatif sayılar içeren ifadeler için tanım ve işaret koşulları ayrıca belirlenmelidir; bu nedenle TYT düzeyindeki pozitif doğal sayı sorularının kapsamını aşan durumlarda doğrudan aynı kabulle ilerlenmemelidir.

5. Aralarında asal olmayı yalnızca sayıların asal olması sanmak: 7 ve 9 aralarında asaldır; fakat 9 asal değildir. Aralarında asal olmak, iki sayının ortak bölenlerinin en büyüğünün 1 olmasıdır.

6. Sonucu kontrol etmemek: EBOB sonucu her iki sayıyı da kalansız bölmeli; EKOK sonucu her iki sayının katı olmalıdır. Ayrıca iki sayı için bulunan değerler çarpım bağıntısıyla doğrulanabilir.