TYT Temel Kavramlar: Sayılar, Çarpanlar ve Bölünebilirlik

Bir sayının hangi kümeye ait olduğunu nasıl belirlersin?

Sayıları sınıflandırmak, soruda kullanılabilecek işlem ve yorumları sınırlar. Doğal sayılar, mevcut metindeki gösterime göre $0,1,2,3,\ldots$ biçimindeki sayılardır ve $\mathbb{N}$ ile gösterilir. Tam sayılar ise doğal sayılara negatif sayıların eklenmesiyle oluşur: $\ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots$. Bu küme $\mathbb{Z}$ ile gösterilir.

Rasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılabilen sayılardır: $\frac{a}{b}$; burada $a$ ve $b$ tam sayı, $b\neq 0$ olmalıdır. Bu nedenle her tam sayı aynı zamanda rasyonel sayıdır; örneğin $5=\frac{5}{1}$ ve $-2=\frac{-2}{1}$ biçiminde yazılabilir. Ancak iki tam sayının bölümü, sonuç tam sayı olmayabileceği için tam sayılar kümesinde kalmayabilir. Örneğin $1\div 2=\frac{1}{2}$ bir rasyonel sayıdır fakat tam sayı değildir.

Bir sayının kümesini belirlerken sınır durumlarına dikkat edilir. $0$ doğal sayılar gösterimine dahil edilmiştir; negatif sayılar doğal sayı değildir. Bölme işleminde bölen $0$ olamaz. Bir sayının hangi kümede bulunduğu, yapılacak işlemin sonucunun hangi kümede kalacağını yorumlamaya yardım eder.

Asal sayı kontrolünde 1, 2 ve negatif sayılar neden ayrılır?

Asal sayı, $1$'den büyük ve yalnızca iki farklı pozitif çarpanı bulunan doğal sayıdır: $1$ ve kendisi. Bu tanıma göre $2,3,5,7,11,13,17,19,23$ asal sayılara örnektir.

$2$, çift olan tek asal sayıdır. Çünkü 2'nin pozitif çarpanları yalnızca $1$ ve $2$'dir. Diğer çift sayılar en az $1$, $2$ ve kendileri olmak üzere daha fazla çarpana sahip olduğundan asal olamaz. $1$ asal değildir; çünkü asal sayının iki farklı pozitif çarpanı bulunmalıdır ve 1'in yalnızca bir pozitif çarpanı vardır. Negatif sayılar da asal kabul edilmez; asal sayı tanımı $1$'den büyük doğal sayılar için kullanılır.

Bir sayının asal olup olmadığını anlamak için önce $1$'den büyük olup olmadığına bakılır. Ardından 2, 3 gibi küçük sayılara tam bölünüp bölünmediği kontrol edilir. Sayı bir başka pozitif bölenle de bölünüyorsa asal değildir. Asal sayılar, daha büyük doğal sayıların asal çarpanlarına ayrılmasında yapı taşı olarak kullanılır; bu nedenle çarpanlara ayırma ve EBOB-EKOK sorularına doğrudan bağlanır.

Çarpan ve kat ilişkisi: 'bölen' ile 'çarpan' aynı noktayı gösterir

Bir doğal sayının çarpanı, o sayıyı kalan bırakmadan bölen sayıdır. Başka bir ifadeyle $a$, $n$ sayısının çarpanıysa $n=a\times k$ olacak şekilde bir tam sayı $k$ bulunur. Örneğin $12$ için çarpan çiftleri $1\times12$, $2\times6$ ve $3\times4$ olduğundan pozitif çarpanlar $1,2,3,4,6,12$'dir.

Kat kavramı ters yönden okunur. Bir sayının katları, o sayının tam sayılarla çarpılmasıyla elde edilir. $3$'ün pozitif katları $3,6,9,12,15,\ldots$ biçiminde ilerler. Dolayısıyla 12, hem 3'ün katıdır hem de 12'nin çarpanlarından biri 3'tür. Bu iki ifade aynı ilişkiyi farklı yönden anlatır.

Çarpan sayısı sonlu bir liste oluşturur; pozitif çarpanlar incelendiğinde 12 için liste tamamlanır. Katlar ise sayı büyüdükçe devam eder. TYT sorusunda 'eşit gruplara ayırma' ifadesi çoğunlukla çarpanları, 'belirli aralıklarla tekrar etme' veya 'aynı anda gerçekleşme' ifadesi ise katları düşündürür. Negatif çarpanlar, özellikle tam sayılarla ilgili cebirsel bağlamlarda ele alınabilir; temel doğal sayı sorularında genellikle pozitif çarpanlar istenir.

Bölünebilirlik kurallarını sonuç üretmek için kullanma

Bir $n$ sayısı, $m$ sayısına bölünebiliyorsa $n=m\times k$ olacak şekilde $k$ bir tam sayıdır. Bu durumda bölme işleminin kalanı $0$ olur. Kuralın amacı yalnızca ezberlenmiş bir cümleyi tekrar etmek değil, sayının tam bölünüp bölünmediğini hızlıca belirlemektir.

Mevcut bilgiler içinde özellikle iki test öne çıkar. Bir doğal sayı 2'ye bölünebiliyorsa çifttir; bunun için son basamağın çift olması yeterlidir. Örneğin 248'in son basamağı 8 olduğu için 2'ye tam bölünür. Bir sayının 3'e bölünebilmesi için rakamları toplamının 3'e bölünebilmesi gerekir. $147$ için rakamlar toplamı $1+4+7=12$ olduğundan ve 12, 3'e bölündüğünden 147 de 3'e tam bölünür.

Bu kurallar birer karar aracıdır. Rakamlar toplamı 3'ün katı değilse sayı 3'e tam bölünmez; toplam 3'ün katıysa tam bölünür. Ancak kural, bölümün kaç olduğunu söylemez. Bölümü bulmak için ayrıca işlem yapılır. Bölünebilirlik, çarpanları hızlı bulmaya ve bir sayının asal olamayacağını göstermeye yarar. Örneğin 15'in 3'e bölündüğü görülürse, 15'in 1 ve kendisi dışında 3 gibi bir çarpanı olduğu anlaşılır; bu nedenle 15 asal değildir.

İşlem özelliklerini hangi sayı türlerinde güvenle kullanabilirsin?

Toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemlerinin sonucu; işlem yapılan sayı kümesine göre değişebilir. İki tam sayının toplamı ve farkı yine tam sayıdır. İki tam sayının çarpımı da tam sayıdır. Fakat iki tam sayının bölümü her zaman tam sayı olmak zorunda değildir: $3\div2=\frac{3}{2}$.

Toplama ve çarpma işlemlerinde değişme özelliği vardır: $a+b=b+a$ ve $a\times b=b\times a$. Birleşme özelliği de bu işlemler için geçerlidir: $(a+b)+c=a+(b+c)$ ve $(a\times b)\times c=a\times(b\times c)$. Bu özellikler, terimlerin sırasını veya gruplanmasını değiştirerek işlemi kolaylaştırır.

Çarpmanın toplama ve çıkarma üzerine dağılma özelliği vardır: $a(b+c)=ab+ac$ ve $a(b-c)=ab-ac$. Buna karşılık çıkarma ve bölme işlemlerinde değişme özelliği kullanılamaz. Genel olarak $a-b$ ile $b-a$ eşit değildir; $a\div b$ ile $b\div a$ da aynı sonucu vermez. Ayrıca sıfıra bölme tanımlı değildir. İşlem özelliği uygulanmadan önce, işlemin türü ve sayıların tanım kümesi kontrol edilmelidir.

Çözümlü örnekler: tanımdan sonuca ilerleme

Örnek 1 — 12'nin çarpanları ve eşit gruplama

Verilen: 12 nesne, eşit sayıda gruplara ayrılacak. Kaç farklı grup büyüklüğü mümkündür?

1. Grup büyüklüğü 12'yi kalan bırakmadan bölmelidir; yani aranan sayılar 12'nin pozitif çarpanlarıdır.
2. Çarpan çiftleri yazılır: $1\times12$, $2\times6$, $3\times4$.
3. Bu çiftlerden pozitif çarpanlar elde edilir: $1,2,3,4,6,12$.
4. Buna göre grup büyüklüğü olarak 1, 2, 3, 4, 6 veya 12 seçilebilir.

Sonuç: 6 farklı pozitif grup büyüklüğü vardır. Burada 'kaç gruba ayrılır?' sorusu ile 'her grupta kaç nesne olur?' sorusunun farklı sorular olabileceğine dikkat edilmelidir. Örneğin 12 nesne 3 gruba ayrılırsa her grupta 4 nesne bulunur.

Örnek 2 — Bir sayının 3'e bölünüp bölünmediğini belirleme

Verilen: $147$ sayısının 3'e tam bölünüp bölünmediği soruluyor.

1. Rakamlar toplamı hesaplanır: $1+4+7=12$.
2. 12'nin 3'e bölünüp bölünmediği kontrol edilir: $12\div3=4$ ve kalan 0'dır.
3. Rakamlar toplamı 3'e bölündüğü için 147 de 3'e tam bölünür.
4. İstenirse bölüm hesaplanır: $147\div3=49$.

Sonuç: 147, 3'ün katıdır; 3 ise 147'nin çarpanıdır. Bu yöntem tam bölünebilirliği hızlıca gösterir, fakat bölüm değerini bulmak için ayrıca bölme yapılması gerekir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

• 1'i asal saymak: Asal sayı iki farklı pozitif çarpana sahip olmalıdır. 1'in yalnızca bir pozitif çarpanı bulunduğu için asal değildir.

• Her tek sayıyı asal sanmak: Tek olmak yalnızca 2'ye bölünmeme durumunu anlatır. 9 ve 15 tek olduğu hâlde sırasıyla 3'e ve 3 ile 5'e bölünür; dolayısıyla asal değildir.

• Her çift sayıyı asal dışı sayarken 2'yi unutmak: 2, çift olmasına rağmen asal sayıdır ve tek çift asal sayıdır.

• Çarpan ile katı aynı yönde düşünmek: 3, 12'nin çarpanıdır; 12 ise 3'ün katıdır. Çarpan, sayıyı böler; kat, sayının bir tam sayı ile çarpılmasıyla oluşur.

• Bölünebilirlik kuralını bölüm sanmak: Rakamlar toplamının 3'ün katı olması, sayının 3'e tam bölündüğünü gösterir; bölümün kendisini vermez.

• Sıfıra bölme yapmak: $a\div0$ tanımlı değildir. Bu durum, sayı kümeleri arasında seçim yapılarak düzeltilebilecek bir sonuç değildir.

• Değişme özelliğini çıkarma veya bölmede kullanmak: $8-3=5$ iken $3-8=-5$; $8\div2=4$ iken $2\div8=\frac14$ olur.

• 'Tam sayı' ile 'doğal sayı'yı eş anlamlı kullanmak: $-4$ bir tam sayıdır ancak doğal sayı değildir. Sorudaki sayı kümesi, negatif değerlerin kabul edilip edilmediğini belirler.