Hardy-Weinberg Dengesi: Alel ve Genotip Frekansı Hesaplama

p ve q neyi ölçer, p² ve 2pq neden genotip frekansıdır?

İki alelli bir gen için alel frekanslarının toplamı 1'dir:

$p+q=1$

Burada $p$, seçilen bir alelin popülasyondaki tüm aleller içindeki oranını; $q$ ise diğer alelin oranını gösterir. Örneğin $q=0{,}20$, ilgili alellerin %20'sinin $q$ aleli olduğu anlamına gelir. Bu değer, çekinik fenotipli bireylerin oranı olmak zorunda değildir.

Rastgele eşleşme varsayımında gametlerin birleşme olasılıkları çarpılarak genotip frekansları elde edilir:

• $AA$: $p\times p=p^2$
• $Aa$: iki farklı sıra bulunduğu için $p\times q+q\times p=2pq$
• $aa$: $q\times q=q^2$

Böylece:

$p^2+2pq+q^2=(p+q)^2=1$

Karar kuralı şudur: Soruda alel frekansı isteniyorsa $p$ veya $q$ aranır; genotip ya da fenotip oranı isteniyorsa $p^2$, $2pq$ veya $q^2$ ile ilişki kurulmalıdır. Çekinik fenotip yalnızca $aa$ genotipinden oluşuyorsa oranı $q^2$'dir. Baskın fenotip ise hem $AA$ hem de $Aa$ bireylerini kapsar ve oranı $p^2+2pq$, yani $1-q^2$ olur.

Hardy-Weinberg varsayımları bozulursa hesap neyi gösterir?

Standart bağıntıları doğrudan kullanmadan önce sorunun popülasyonu Hardy-Weinberg dengesinde kabul edip etmediği kontrol edilmelidir. Modelin temel koşulları şunlardır:

1. Rastgele eşleşme: Bireylerin belirli genotipleri tercih ederek eşleşmemesi gerekir. Akraba eşleşmelerinin artması gibi durumlar genotip dağılımını etkileyebilir.
2. Mutasyon olmaması: Yeni alellerin oluşması veya mevcut alellerin değişmesi hesaba katılmaz.
3. Göç olmaması: Popülasyona alel taşıyan bireylerin katılması ya da popülasyondan ayrılması yoktur.
4. Doğal seçilim olmaması: Bir genotipin yaşama veya üreme başarısı diğerlerinden farklı kabul edilmez.
5. Popülasyonun yeterince büyük olması: Küçük popülasyonlarda şansa bağlı alel değişimleri, yani genetik sürüklenme, daha belirgin olabilir.

Bu koşullardan biri bozulduğunda $p^2$, $2pq$ ve $q^2$ değerleri yine matematiksel olarak hesaplanabilir; fakat bunlar artık denge modelinin beklenen değerleri olarak yorumlanmalıdır. Örneğin bir hastalık aleli doğal seçilim nedeniyle daha az aktarılıyorsa, yalnızca $q^2$ değerinden gelecek nesillerin gerçek frekansını kesin biçimde öngörmek mümkün değildir. Dolayısıyla formülü kullanmak ile popülasyonun gerçekten dengede olduğunu iddia etmek aynı şey değildir.

Çekinik fenotip verildiğinde güvenli hesap sırası

Çekinik bir fenotipin oranı verildiğinde çözüm yolu standarttır; ancak fenotip ile alel frekansını karıştırmamak gerekir. Çekinik fenotip, çekinik alelin tek kopyasıyla değil, iki kopyasıyla ortaya çıkıyorsa bu oran $q^2$'ye eşittir.

İzlenecek sıra şöyledir:

1. Verilen yüzdeyi ondalık sayıya çevirin. Örneğin %4, $0{,}04$ olur.
2. Çekinik fenotip oranını $q^2$ olarak yazın.
3. $q=\sqrt{q^2}$ ile çekinik alel frekansını bulun.
4. $p=1-q$ ile diğer alelin frekansını hesaplayın.
5. $p^2$, $2pq$ ve $q^2$ değerlerini ayrı ayrı bulun.
6. Sonuçları $p+q=1$ ve $p^2+2pq+q^2=1$ ile kontrol edin.

Örneğin çekinik fenotip %4 ise $q^2=0{,}04$ ve $q=0{,}20$ olur. Buradan $p=0{,}80$, $p^2=0{,}64$ ve $2pq=0{,}32$ bulunur. Bu sonuçların yorumu: popülasyondaki çekinik alel oranı %20, çekinik fenotipli birey oranı %4, heterozigot birey oranı ise %32'dir. Bu üç yüzde aynı kavramı göstermez.

Baskın fenotip oranından neden doğrudan p bulunamaz?

Baskın fenotipli bir birey $AA$ veya $Aa$ olabilir. Bu nedenle baskın fenotip oranı doğrudan $p$ ya da yalnızca $p^2$ değildir:

$baskın\ fenotip=p^2+2pq=1-q^2$

Bu durumda önce tamamlayıcı oran bulunur:

$q^2=1-(baskın\ fenotip\ oranı)$

Ardından karekök alınarak $q$, sonra $p=1-q$ bulunur. Örneğin baskın fenotip oranı %75 ise çekinik fenotip oranı %25'tir. Denge varsayımı altında $q^2=0{,}25$, $q=0{,}50$ ve $p=0{,}50$ olur. Genotip frekansları $p^2=0{,}25$, $2pq=0{,}50$ ve $q^2=0{,}25$ şeklindedir.

Bu yaklaşım yalnızca baskın fenotipin gerçekten $AA$ ve $Aa$ genotiplerinin toplamı olduğu, çekinik fenotipin de yalnızca $aa$ ile ortaya çıktığı basit iki alelli modelde kullanılmalıdır. Birden fazla alelde Hardy-Weinberg modeli genellenerek her genotip için uygun alel frekansı çarpımları kullanılır; ancak fenotiplerin genotiplerle ilişkisi, örneğin ABO sistemindeki gibi, ayrıca kurulmalıdır.

Frekansları birey sayısına çevirme ve taşıyıcıyı ayırt etme

Frekans, popülasyonun belirli bir bölümünü gösterir. Popülasyon büyüklüğü $N$ verilirse beklenen genotip veya fenotip sayısı şu şekilde hesaplanır:

genotip/fenotip sayısı = ilgili frekans × $N$

Örneğin $N=10.000$ ve $2pq=0{,}32$ ise beklenen heterozigot birey sayısı $0{,}32\times10.000=3.200$ olur. Diploid bir popülasyonda belirli bir alelin beklenen kopya sayısı ise alel frekansı × $2N$ ile hesaplanır.

Çekinik hastalık örneğinde semptomsuz taşıyıcılar genellikle heterozigot $Aa$ bireyleridir ve denge modelinde oranları $2pq$ ile hesaplanır. Hastalığa sahip bireylerin oranı $q^2$ olsa da taşıyıcı oranı $q$ değildir. Taşıyıcılar arasında oran sorulursa farklı bir bölme yapılır:

$taşıyıcılar\ arasındaki\ hastalık\ aleli\ oranı=\frac{q}{p?}$ gibi rastgele bir oran yazılmaz; soru önce hangi grubun koşullandığını açıkça belirtmelidir.

Örneğin 'çekinik hastalığı olmayanlar arasındaki taşıyıcı oranı' sorulursa pay $2pq$, payda ise hastalığı olmayanların oranı $p^2+2pq=1-q^2$ alınır. Bu ayrım, tüm popülasyondaki taşıyıcı oranı ile hastalığı olmayanlar içindeki taşıyıcı oranının aynı olmadığını gösterir.

Çözümlü örnekler: iki farklı soru tipini ayırma

Örnek 1 — Çekinik fenotipten tüm dağılımı bulma

Verilenler: Bir popülasyonda çekinik bir hastalığa sahip bireylerin oranı %4'tür. Popülasyonun Hardy-Weinberg dengesinde olduğu kabul edilmektedir.

Adım 1: Verilen oranı modele yerleştirme Hastalık çekinik olduğundan hastalığa sahip bireyler $aa$ genotipindedir. Bu nedenle:

$q^2=0{,}04$

Adım 2: Çekinik aleli bulma

$q=\sqrt{0{,}04}=0{,}20$

Çekinik alel frekansı %20'dir.

Adım 3: Diğer aleli bulma

$p=1-q=1-0{,}20=0{,}80$

Adım 4: Genotip frekanslarını hesaplama

$AA=p^2=(0{,}80)^2=0{,}64$

$Aa=2pq=2\times0{,}80\times0{,}20=0{,}32$

$aa=q^2=0{,}04$

Adım 5: Kontrol ve yorum

$0{,}64+0{,}32+0{,}04=1$

Sonuç olarak %64 homozigot baskın, %32 heterozigot ve %4 homozigot çekinik birey beklenir. Taşıyıcı oranı, hastalık çekinik ve heterozigotlar fenotipik olarak sağlıklı kabul edildiğinde %32'dir.

Örnek 2 — Baskın fenotipten hesaplama

Verilenler: Baskın fenotipli bireylerin oranı %75'tir.

Adım 1: Çekinik fenotipi bulma

$1-0{,}75=0{,}25$

Dolayısıyla $q^2=0{,}25$.

Adım 2: Alel frekanslarını bulma

$q=\sqrt{0{,}25}=0{,}50$

$p=1-0{,}50=0{,}50$

Adım 3: Genotipleri bulma

$p^2=0{,}25$, $2pq=0{,}50$, $q^2=0{,}25$.

Sonuç: Baskın fenotipli bireylerin toplamı $0{,}25+0{,}50=0{,}75$ olur. Burada baskın fenotipin %75 olması, homozigot baskın bireylerin de %75 olduğu anlamına gelmez; homozigot baskın oranı yalnızca %25'tir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

• $q$ ile $q^2$'yi aynı sanmak: Çekinik fenotip oranı $q^2$'dir; çekinik alel frekansını bulmak için karekök alınır. %4 fenotip, %4 alel anlamına gelmez; bu örnekte alel frekansı %20'dir.
• Baskın fenotipi $p^2$ kabul etmek: Baskın fenotip $AA$ ve $Aa$ bireylerini birlikte içerir. Bu nedenle $p^2+2pq$ olarak yazılır.
• $2pq$ içindeki 2'yi atlamak: $Aa$ oluşumu $A$ gametinin anneden, $a$ gametinin babadan gelmesi veya tersinin gerçekleşmesiyle iki farklı sırada meydana gelir.
• Alel frekansı ile genotip frekansını karıştırmak: $p$ ve $q$ alellere, $p^2$, $2pq$ ve $q^2$ genotiplere aittir. Hepsi yüzde olarak ifade edilebilir; fakat aynı biyolojik büyüklüğü ölçmez.
• Yüzdeyi ondalığa çevirmemek: %9, hesapta $9$ değil $0{,}09$ olarak kullanılır. Karekök işlemi ancak ondalık biçime çevrildikten sonra yapılmalıdır.
• Denge koşulunu görmezden gelmek: Soruda Hardy-Weinberg varsayımı yoksa veya seçilim, göç gibi bir etken özellikle verilmişse standart sonuçlar gerçek popülasyonun zorunlu sonucu olarak yazılamaz.
• Sembolleri otomatik biçimde baskınlıkla eşleştirmek: $p$ ve $q$ yalnızca alel frekanslarını gösteren sembollerdir. Hangi sembolün hangi alele ait olduğu soru kökünden okunmalıdır.
• Frekans ile sayıyı ayırmamak: $0{,}32$ bir oran, 10.000 kişilik popülasyonda 3.200 ise beklenen birey sayısıdır. Küçük örneklemlerde gerçek sayı, modelin beklenen değerinden farklı çıkabilir.