Deneysel Olasılık: Veriden Güvenilir Tahmine

Deneysel olasılıkta pay ve payda nasıl belirlenir?

Bir $A$ olayının deneysel olasılığı şu oranla bulunur:

$P_d(A)=n_A/N$

Burada $n_A$, istenen $A$ olayının gerçekleşme sayısını; $N$ ise geçerli toplam deneme sayısını gösterir. Sonuç 0 ile 1 arasında olur. 0 değeri, incelenen denemelerde olayın hiç görülmediğini; 1 değeri ise olayın tüm geçerli denemelerde görüldüğünü ifade eder. Bu değerler olayın gelecekte mutlaka gerçekleşeceği veya hiç gerçekleşmeyeceği anlamına gelmez.

Örneğin 50 yazı-tura atışında 28 kez yazı geldiyse:

$P_d(\text{yazı})=28/50=0,56=\%56$

Burada pay 28, yalnızca yazı sonuçlarının sayısıdır; payda 50 ise yazı ve tura dahil bütün geçerli atışların toplamıdır. Sonuç, bu deney dizisinde yazı oranının yüzde 56 olduğunu söyler.

Birden fazla sonucun birlikte istendiği sorularda pay, olayın tanımına göre oluşturulur. Zar atışında çift sayı gelmesi isteniyorsa uygun sonuçlar 2, 4 ve 6'dır; pay, bu üç sonucun toplam görülme sayısıdır. Deneysel olasılık hesaplanırken toplamı yalnızca istenen sonuçlarla sınırlamak önemli bir hataya yol açar.

Teorik olasılık hangi varsayımla deneysel veriye ölçüt olur?

Teorik olasılık, modelin sonuçları ve bu sonuçların olasılıklarını bilerek hesaplanan değerdir. Sonuçlar eş olasılıklı ve sonlu bir örnek uzay oluşturuyorsa:

$P(A)=|A|/|U|$

Örneğin adil olduğu varsayılan altı yüzlü bir zarın her yüzü eş olasılıklı kabul edilir. Bu modelde 6 gelme teorik olasılığı $1/6$'dır. Çift sayı gelme olayı için uygun sonuçlar 2, 4 ve 6 olduğundan teorik olasılık $3/6=1/2$ olur.

Buradaki kritik koşul, zarın adil kabul edilmesidir. Zarın fiziksel olarak kusurlu olduğu biliniyorsa veya atış düzeni bazı yüzleri avantajlı hâle getiriyorsa $1/6$ değeri gerçek sistemi açıklamayabilir. Aynı şekilde yazı-tura deneyinde teorik $1/2$ değeri, iki sonucun eş olasılıklı olduğu modele dayanır.

Deneysel değer ile teorik değer arasındaki fark, tek başına deneyin yanlış olduğunu göstermez. Farkın büyüklüğü; deneme sayısı, rastlantısal dalgalanma, araçtaki kusur ve deney koşullarındaki değişikliklerle birlikte ele alınır. Deney sayısı arttıkça, aynı olasılık modeline uygun ve bağımsız denemelerde deneysel oranların teorik değere yaklaşması beklenir. Bu ifade, sonlu sayıda denemede iki değerin kesinlikle eşit olacağı anlamına gelmez.

Tablodaki oranı tahmine dönüştürmeden önce veri kalitesini inceleme

Deneysel olasılık, yalnızca verinin toplandığı koşullara benzer yeni durumlar için tahmin olarak kullanılmalıdır. Bir basketbol oyuncusunun 200 serbest atışta 160 isabet bulması, bu kayıt dizisindeki isabet oranının $160/200=0,80$ olduğunu gösterir. Bu oran, aynı oyuncunun benzer koşullardaki atışları için bir başlangıç tahmini olabilir; farklı mesafe, sakatlık, savunma baskısı veya maç koşulları için otomatik olarak aynı sonucu vermez.

Veriyi yorumlarken şu üç soru önemlidir:

1. Denemeler neyi temsil ediyor? Sadece antrenman atışları kaydedildiyse maç performansına doğrudan genelleme yapmak sınırlı olabilir.
2. Denemeler aynı koşullarda mı yapıldı? Deney sırasında araç, ortam veya uygulama biçimi değiştiyse tek bir oran farklı koşulları birleştiriyor olabilir.
3. Kayıt eksiksiz mi? Başarısız denemelerin veya geçersiz sonuçların dışarıda bırakılması paydada yanlılık oluşturabilir.

Deneme sayısı da yorumun bir parçasıdır. 2 denemede 2 başarı, deneysel oranı 1 yapar; fakat veri miktarı çok az olduğu için bu oranı geniş bir gruba aktarmak dikkat gerektirir. 200 denemede 160 başarı ise daha fazla gözleme dayanır, ancak örneklemin seçimi veya koşulların değişmesi gibi sorunları tek başına çözmez. Bu yüzden “daha çok veri” güvenilirliği artırabilir; fakat hatalı ya da temsil etmeyen veri doğru bir tahmin üretmeyebilir.

Çözümlü örnek: zar tablosundan iki farklı olayı bulma

Verilenler: Bir zar 120 kez atılmış ve sonuçlar şöyle kaydedilmiştir:

İstenen 1: 6 gelme deneysel olasılığı

1. adım — Olayı tanımla: $A=\{6\}$.

2. adım — Payı belirle: 6 sonucu 20 kez görülmüş; yani $n_A=20$.

3. adım — Paydayı belirle: Toplam deneme sayısı 120'dir; yani $N=120$.

4. adım — Oranı hesapla: $P_d(A)=20/120=1/6\approx0,167$.

Sonuç: Bu veri setinde 6 gelme oranı yaklaşık yüzde 16,7'dir. Adil zar modelinin teorik değeri de $1/6\approx0,167$ olduğundan bu örnekte iki değer aynıdır; ancak bu eşitlik, her 120 atışlık dizide tekrarlanması gereken bir sonuç değildir.

İstenen 2: Çift sayı gelme deneysel olasılığı

1. adım — Olayı tanımla: Çift sonuçlar 2, 4 ve 6'dır.

2. adım — Uygun sonuçların sayılarını topla: $22+21+20=63$.

3. adım — Toplam denemeye böl: $P_d(\text{çift})=63/120=0,525$.

Sonuç: Çift sayı gelme deneysel olasılığı yüzde 52,5'tir. Adil zarın teorik değeri $3/6=0,5$ olduğundan deneysel oran teorik değerden 0,025 daha yüksektir. Bu fark, yalnızca bu tabloya bakılarak zarın adil olmadığı sonucunu vermeye yetmez.

Çözümlü örnek: eksik toplam ve yüzde gösterimi

Verilenler: Bir torbadan geri koyarak 80 kez seçim yapılmış; kırmızı top 32, mavi top 28, yeşil top 20 kez seçilmiştir. Geri koyma, her seçimden sonra topun torbaya döndürüldüğü ve sonraki seçimde aynı düzenin korunduğu anlamına gelir.

İstenen: Kırmızı veya yeşil top seçilme deneysel olasılığı.

1. adım — Olayı yaz: $A=\{\text{kırmızı veya yeşil}\}$.

2. adım — Uygun gözlem sayısını bul: Kırmızı ve yeşil sonuçlar birlikte istenir. Bu nedenle $n(A)=32+20=52$.

3. adım — Toplamı kullan: Deney 80 geçerli seçimden oluştuğu için payda 80'dir.

4. adım — Hesapla: $P_d(A)=52/80=13/20=0,65=\%65$.

Sonuç: Bu seçim dizisinde kırmızı veya yeşil gelme oranı yüzde 65'tir. Mavi sonuçların sayısını paydaya eklememek yanlış olur; çünkü mavi sonuçlar olayın içinde olmasa da toplam denemelerin parçasıdır.

Eğer seçimler geri koymadan yapılsaydı, her seçimden sonra torbanın içeriği değişeceği için denemeler aynı koşullarda gerçekleşmezdi. Bu durumda aynı oran yine hesaplanabilir; ancak oranı sonraki seçimlerin olasılığıyla yorumlamak için torbanın başlangıç içeriği ve seçim düzeni ayrıca bilinmelidir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

Deneysel olasılığı teorik olasılıkla karıştırmak: Teorik değer modelden, deneysel değer gözlemden gelir. Bir zar 120 kez atıldığında 6'nın 20 kez gelmesi deneysel oranı $1/6$ yapar; bu, zarın adil olduğunun kanıtı değil, bu veri dizisindeki oranın teorik değerle çakıştığının göstergesidir.

Paydayı yanlış seçmek: Yalnızca başarılı sonuçların sayısını paydaya yazmak yanlıştır. 32 başarı ve 18 başarısızlık varsa toplam deneme 50'dir; deneysel başarı olasılığı $32/50$ olur, $32/32$ değil.

Olayı eksik tanımlamak: “Çift sayı” için yalnızca 2 ve 4'ü saymak, 6'yı atlamak demektir. Olayın kapsamı önce liste veya sözel tanımla netleştirilmelidir.

Yüzdeyi olasılık sanarken dönüşümü unutmak: $0,8$ ile yüzde gösterimi yüzde 80'dir. $0,08$ ise yüzde 8'dir; ondalık virgül ile yüzde işareti arasında 100 katlık dönüşüm vardır.

Az veriden kesin karar çıkarmak: 2 denemede 2 başarı, gözlenen oranın 1 olduğunu gösterir; gelecekteki başarıların kesinleştiğini göstermez. Deneme sayısı, veri toplama koşulları ve olayın değişkenliği birlikte incelenmelidir.

Bağımsızlığı varsaymak: Büyük Sayılar Yasası'na dayalı yaklaşma fikri, aynı olasılık düzeninin korunduğu denemelerle ilişkilidir. Bir torbadan top geri konmadan seçim yapmak, sonraki seçimlerin koşullarını değiştirebilir.

Geçersiz sonuçları gelişigüzel dışlamak: Başarısız veya beklenmeyen sonuçları kayda almamak, paydanın gerçeği yansıtmamasına neden olabilir. Geçersiz denemelerin neden dışarıda bırakıldığı açıklanmalıdır.

“Yaklaşır” ifadesini “eşit olur” diye yorumlamak: Deneme sayısı arttığında deneysel oranın teorik değere yaklaşması beklenebilir; sonlu bir deneyde tam eşitlik zorunlu değildir.