Olasılık Dağılımı Nasıl Okunur? PMF, PDF ve CDF

Rassal değişkeni tanımlamadan dağılım seçilmez

Rassal değişken, bir deneyin sonucunu sayısal olarak temsil eden değişkendir. X değişkeninin hangi sonuçları alabileceği, kullanılacak dağılım türünü belirler. Bir zarın üst yüzü gibi sonlu sayıda değer alan değişken ayrık; boy, süre veya ağırlık gibi ölçüm sonucu olan değişken ise genellikle sürekli kabul edilir.

Ayrık bir değişkende her bir değer için doğrudan olasılık yazılabilir: P(X = x). Geçerli bir olasılık kütle fonksiyonunda her değer için p(x) ≥ 0 olmalı ve tüm mümkün değerlerin olasılıkları toplamı 1 etmelidir. Bu iki koşuldan biri sağlanmıyorsa verilen tablo bir olasılık dağılımı olamaz.

Sürekli değişkende ise f(x) yoğunluk fonksiyonudur. f(x) ≥ 0 olmalı ve tanım aralığı boyunca toplam alan 1 olmalıdır. Yoğunluk fonksiyonunun yüksek olması, o civardaki değerlerin göreli olarak daha yoğun olduğunu gösterir; tek bir noktanın olasılığını doğrudan vermez. Sürekli değişkenlerde uygun ifade P(a ≤ X ≤ b) biçimindedir ve bu değer a ile b arasındaki alanla hesaplanır.

PMF ile PDF arasındaki fark: değer mi, aralık mı?

Ayrık dağılımda olasılık kütle fonksiyonu PMF, X'in belirli bir değeri alma olasılığını verir: p(x) = P(X = x). Örneğin adil bir zar için P(X = 4) = 1/6'dır. Birden fazla ayrık sonuç istenirse ilgili olasılıklar toplanır: P(X ∈ {2, 4, 6}) = P(X = 2) + P(X = 4) + P(X = 6).

Sürekli dağılımda PDF, f(x), birim başına yoğunluğu temsil eder. Bir aralığın olasılığı integral ile bulunur: P(a ≤ X ≤ b) = ∫a^b f(x)dx. Bu nedenle f(4) = 0,30 gibi bir değer, X = 4 olasılığının 0,30 olduğu anlamına gelmez. Sürekli değişkende tek noktadaki olasılık, uygun koşullarda, P(X = 4) = 0'dır. Buna karşılık 3 ile 5 arasındaki olasılık sıfır olmak zorunda değildir.

Sınır noktaları konusunda da dikkat gerekir. Sürekli bir dağılımda P(a ≤ X ≤ b), P(a < X ≤ b) ve P(a ≤ X < b) aynı değerdedir; çünkü tek bir noktanın olasılığı sıfırdır. Bu eşitlik, ayrık dağılımlara otomatik olarak taşınamaz. Ayrık değişkende P(X = a) sıfır olmayabileceği için < ve ≤ işaretleri sonucu değiştirebilir.

CDF ile birikimli olasılık nasıl okunur?

Kümülatif dağılım fonksiyonu F(x) = P(X ≤ x) biçiminde tanımlanır. F(x), x'e kadar birikmiş toplam olasılığı gösterir. Bu nedenle 0 ile 1 arasında değer alır ve x arttıkça azalmaz. Bir değişkenin belirli bir aralıkta bulunma olasılığı CDF farkıyla hesaplanabilir: P(a < X ≤ b) = F(b) - F(a).

Ayrık dağılımlarda CDF, PMF değerlerinin sırayla toplanmasıyla oluşur. Örneğin P(X = 1) = 0,10, P(X = 2) = 0,25 ise F(2) = P(X ≤ 2) = 0,35'tir. Bu değer, X'in tam olarak 2 olma olasılığı değildir; 1 veya 2 olma olasılıklarının toplamıdır.

Sürekli ve türevlenebilir bir dağılımda F(x) = ∫-∞^x f(t)dt ve F'(x) = f(x) ilişkisi kurulabilir. Ancak bu ilişki, PDF'nin her noktada türevin doğrudan alınabildiği düzenli durumlar için kullanılmalıdır. Sınavda önce sorunun 'X = x', 'X ≤ x' veya 'a < X ≤ b' biçimlerinden hangisini istediğini belirlemek hata riskini azaltır.

Beklenen değer ve varyans birlikte yorumlanmalı

Beklenen değer, ayrık değişkende E(X) = Σ x · P(X = x), sürekli değişkende ise E(X) = ∫ x · f(x)dx ile hesaplanır. Beklenen değer, tek bir deneyde mutlaka ortaya çıkacak sonuç değildir; dağılımın uzun dönemli ortalama davranışını temsil eder. Örneğin bir zarın beklenen üst yüzü 3,5 olabilir, fakat tek atışta 3,5 sonucu alınamaz.

Varyans, değerlerin beklenen değerden sapmalarını kareleyerek ölçer: Var(X) = E[(X - E(X))²]. Hesabı kolaylaştıran eşdeğer biçim Var(X) = E(X²) - [E(X)]²'dir. Varyans büyüdükçe dağılımın merkez çevresindeki yayılımı artar; ancak birimin karesiyle ifade edildiği için yorumlamak amacıyla çoğu zaman standart sapma kullanılır: σ = √Var(X).

Karar verirken yalnızca ortalamaya bakmak yeterli değildir. Aynı beklenen değere sahip iki dağılımın varyansları farklı olabilir; düşük varyans daha sıkı kümelenmeye, yüksek varyans ise daha geniş belirsizliğe işaret eder. Fakat varyansın 'risk' olarak yorumlanması bağlama bağlıdır; her durumda yüksek varyans otomatik olarak kötü sonuç anlamına gelmez.

Özel dağılım seçimi, deneyin yapısına bağlıdır

Bir dağılımın adını ezberlemekten önce deneyin yapısı incelenmelidir. Bernoulli tipi modelde tek denemenin iki sonucu vardır; örneğin başarı veya başarısızlık. Binom dağılımı, başarı olasılığının denemeler boyunca aynı kabul edildiği ve denemelerin bağımsız olduğu durumlarda belirli sayıdaki başarıyı modellemek için kullanılır. Bu koşullar sağlanmıyorsa binom modeli uygun olmayabilir.

Normal dağılım sürekli değişkenler için çan biçimli bir modeldir ve ortalama ile yayılım parametreleriyle ifade edilir. Ancak her sürekli veri kümesinin normal dağıldığı varsayılmamalıdır. Merkezi limit teoremi de tek tek verilerin normal olduğunu söylemez; uygun koşullarda bağımsız değişkenlerin toplamı veya örneklem ortalaması, örneklem büyüklüğü arttıkça normale yaklaşabilir. Yaklaşımın yeterliliği dağılımın özelliklerine ve örneklem büyüklüğüne bağlıdır.

Hipotez testlerinde kullanılan normal, t veya ki-kare dağılımı; test istatistiğinin hangi varsayımlar altında hangi dağılıma uyduğu incelenerek seçilir. Bu nedenle 'veri sayısı büyükse her dağılım normaldir' ifadesi doğru bir kural değildir. Bağımsızlık, sonlu varyans ve modelin diğer koşulları ayrıca değerlendirilmelidir.

Çözümlü örnekler: tablodan olasılık ve ortalama bulma

Örnek 1 — Verilenler: Bir ayrık rassal değişken için X değerleri 0, 1 ve 2; olasılıklar sırasıyla 0,20, 0,50 ve 0,30 olsun. İstenenler P(X ≥ 1), E(X) ve Var(X).

Çözüm adımları:

1. Olasılıkların geçerli olup olmadığını kontrol edin: 0,20 + 0,50 + 0,30 = 1. Tüm olasılıklar 0 ile 1 arasındadır; tablo geçerli bir PMF'dir.
2. X ≥ 1 olayı, X = 1 veya X = 2 demektir. Bu nedenle P(X ≥ 1) = 0,50 + 0,30 = 0,80.
3. Beklenen değeri hesaplayın: E(X) = 0·0,20 + 1·0,50 + 2·0,30 = 1,10.
4. Önce ikinci momenti bulun: E(X²) = 0²·0,20 + 1²·0,50 + 2²·0,30 = 1,70.
5. Varyans: Var(X) = 1,70 - 1,10² = 1,70 - 1,21 = 0,49.

Sonuç: X'in en az 1 olma olasılığı 0,80, beklenen değeri 1,10 ve varyansı 0,49'dur. Beklenen değer mümkün değerlerden biri olmak zorunda değildir; burada 1,10 olması bu nedenle sorun değildir.

Örnek 2 — Verilenler: Sürekli bir değişkenin 0 ile 2 aralığında sabit yoğunluğa sahip olduğu ve bu aralık dışında yoğunluğun 0 olduğu kabul edilsin. Normalizasyon koşulundan 0 ile 2 arasındaki dikdörtgen alanı 1 olmalıdır. Genişlik 2 olduğuna göre yoğunluk f(x) = 1/2'dir.

Çözüm adımları:

1. İstenen olayın aralığını yazın: P(0,5 ≤ X ≤ 1,5).
2. PDF'yi aralıkta integral olarak kullanın: P(0,5 ≤ X ≤ 1,5) = ∫0,5^1,5 1/2 dx.
3. Aralık genişliği 1 olduğundan sonuç 1 · 1/2 = 0,50'dir.

Sonuç: X'in 0,5 ile 1,5 arasında bulunma olasılığı 0,50'dir. Burada f(1) = 0,50 değerini doğrudan olasılık olarak kullanmadık; olasılığı, aralık altındaki alandan elde ettik.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. PDF'yi olasılık sanmak: Sürekli değişkende f(x), tek bir noktanın olasılığı değildir. Olasılık için aralık integrali alınır.

2. PMF toplamını kontrol etmemek: Ayrık tabloda olasılıkların toplamı 1 değilse hesaplamaya geçilmemelidir. Negatif olasılık da mümkün değildir.

3. CDF ile PMF'yi aynı sanmak: P(X = x) tek değerin olasılığıdır; F(x) = P(X ≤ x) ise x'e kadar birikmiş toplamdır.

4. Beklenen değeri kesin sonuç gibi yorumlamak: E(X), tek deneyin sonucu değil, dağılımın ortalama davranışıdır.

5. Varyans ile standart sapmayı karıştırmak: Varyans sapmaların kareli ortalamasıdır; standart sapma onun kareköküdür ve orijinal değişkenle aynı birimdedir.

6. Bağımsızlık koşulunu gözden kaçırmak: Binom gibi modellerde denemelerin bağımsızlığı ve başarı olasılığının sabitliği önemlidir. Bu koşullar bozulduğunda aynı formül uygulanamaz.

7. Merkezi limit teoremini yanlış genellemek: Teorem, her küçük veri grubunun veya her tekil gözlemin normal olduğunu söylemez. Toplam ya da ortalama için, belirtilen koşullar altında bir yaklaşım sunar.

8. Eşitsizlik işaretlerini otomatik değiştirmek: Sürekli değişkende tek noktaların olasılığı sıfır olduğundan bazı sınır yazımları eşdeğerdir; ayrık değişkende bu geçerli olmayabilir.