Oyun Teorisi: Nash Dengesi, Getiri Matrisi ve Ekonomik Kararlar

Bir stratejik durumu oyun yapan dört bileşen

Bir oyunun ilk bileşeni oyunculardır. Oyuncu, birey olabileceği gibi firma, devlet, sendika veya seçmen grubu da olabilir. İkinci bileşen stratejilerdir. Strateji, yalnızca tek bir hamle değil, oyuncunun karşılaşabileceği durumlara göre izleyeceği eylem planıdır. Eş zamanlı ve basit bir oyunda bu ayrım görünmeyebilir; sıralı oyunda ise strateji, sonraki karar noktalarındaki seçimleri de kapsar.

Üçüncü bileşen getiridir. Getiri, oyuncunun bir strateji birleşiminden elde ettiği sonuçtur. Bu sonuç parasal kâr, maliyet, oy sayısı, güvenlik veya oyuncunun kendi tercih sıralamasıyla ifade edilebilir. Sayının büyük olması, o oyuncu açısından daha tercih edilir sonucu temsil eder; fakat farklı oyuncuların getirileri birbirleriyle otomatik olarak aynı ölçekte değildir.

Dördüncü bileşen bilgidir. Oyuncular oyunun kurallarını, mümkün stratejileri ve getirileri biliyor olabilir; ancak diğer oyuncunun seçimini karar anında görmeyebilir. Eş zamanlı oyunlarda kararlar çoğunlukla diğerinin hamlesi bilinmeden verilir. Sıralı oyunlarda ise önceki hamleler gözlemlenebilir veya gözlemlenemeyebilir; bu durum bilgi kümeleriyle belirtilir. Bu nedenle aynı stratejiler, bilgi yapısı değiştiğinde farklı sonuçlar doğurabilir.

Bir model kurmadan önce oyunun tek seferlik mi, tekrarlanan mı; işbirliğinin bağlayıcı olup olmadığı ve oyuncuların diğerlerinin tercihleri hakkında ne bildiği açıkça belirtilmelidir.

Getiri matrisiyle baskın strateji ve en iyi tepkiyi ayırmak

İki oyunculu ve iki stratejili bir eş zamanlı oyunda dört olası strateji birleşimi bulunur. Genel gösterim şöyledir:

Oyuncu 2: C | D Oyuncu 1 A: (A1, B1) | (A2, B2) Oyuncu 1 B: (A3, B3) | (A4, B4)

Her parantezdeki ilk sayı Oyuncu 1’in, ikinci sayı Oyuncu 2’nin getirisidir. Matris okunurken önce satır oyuncusunun, sonra sütun oyuncusunun çıkarı değerlendirilir.

Kesin baskın strateji, rakibin her seçimine karşı daha yüksek getiri sağlayan stratejidir. Zayıf baskın strateji ise rakibin her seçimine karşı en az aynı getiriyi ve en az bir seçimine karşı daha yüksek getiriyi sağlar. Analizde baskınlık türü açıkça belirtilmelidir. Örneğin Oyuncu 1 için hem C karşısında $A1>A3$, hem de D karşısında $A2>A4$ ise A, B’ye kesin olarak baskındır. Bu kıyas yalnızca Oyuncu 1’in getirileriyle yapılır. Oyuncu 2 için her satırda, iki sütundaki ikinci getiriler karşılaştırılır; örneğin C’nin D’ye baskın olması için $B1>B2$ ve $B3>B4$ koşulları gerekir.

Baskın strateji bulunmadığında en iyi tepki yöntemi kullanılır. Rakibin her olası stratejisi sabitlenir ve o durumda en yüksek getiriyi veren seçenek işaretlenir. Bir hücrede her iki oyuncunun seçimi de birbirinin en iyi tepkisiyse, o hücre saf stratejilerde Nash dengesi adayıdır.

Baskın strateji ile Nash dengesi aynı kavram değildir. Bir oyuncunun baskın stratejisi olabilir; fakat diğer oyuncunun seçimiyle birlikte oluşan hücrede karşılıklı en iyi tepki bulunmayabilir. Ayrıca bir strateji, rakibin belirli bir seçimine karşı en iyi tepki olabilir ama rakibin bütün seçimlerine karşı baskın olmak zorunda değildir.

Nash dengesi neyi gösterir, neyi göstermez?

Bir strateji profili, diğer oyuncuların stratejileri değişmeden hiçbir oyuncunun tek taraflı strateji değiştirerek getirisini artırmadığı durumda Nash dengesidir. Başka bir ifadeyle, her oyuncunun seçimi diğerlerinin seçimlerine karşı en iyi tepkidir.

Nash dengesi bir istikrar ölçütüdür. “Bu hücreden tek başına ayrılmak isteyen var mı?” sorusunu yanıtlar. Ancak denge, toplam getirinin en yüksek olduğunu, oyuncular arasında adil dağıldığını veya herkes için en iyi toplumsal sonucu verdiğini tek başına göstermez. Mahpus ikilemi olarak anılan yapılarda bireysel açıdan cazip seçimler, iki oyuncunun da daha düşük sonuç aldığı bir dengeye götürebilir.

Bir oyunda birden fazla saf strateji dengesi bulunabilir. Bazı oyunlarda saf stratejiler içinde denge görülmez; bu durumda oyuncuların stratejileri belirli olasılıklarla karıştırdığı karma strateji dengeleri incelenir. Her sonlu oyunun en az bir Nash dengesi vardır ve bu denge karma strateji uzayında bulunur; saf dengeler de karma stratejilerin yozlaşmış özel halleri olarak kabul edilir. Saf denge yoksa en az bir gerçekten karma denge bulunur.

Dengeyi yorumlarken üç ayrım yapılmalıdır: saf veya karma strateji mi kullanılıyor, oyuncuların tercih ve bilgi varsayımları neler, denge sayısı kaç? Birden fazla denge varsa model, hangisinin gerçekleşeceğini yalnızca Nash tanımıyla seçemeyebilir. Ek ölçütler veya oyunun geçmişi gerekebilir.

Eş zamanlı, sıralı ve tekrarlanan oyunlarda çözüm yolu

Eş zamanlı oyunda oyuncular karar verirken rakibin o anki seçimini bilmez. Getiri matrisi bu yapı için uygundur. Çözümün ilk adımı satır ve sütunlarda en iyi tepkileri işaretlemek, ikinci adımı ortak işaretlerin bulunduğu hücreleri kontrol etmektir.

Sıralı oyunda oyuncular farklı zamanlarda hareket eder; önceki hamlelerin sonraki oyuncular tarafından gözlemlenip gözlemlenmediği bilgi kümeleriyle belirtilir. Bu durumda ağaç gösterimi kullanılır. Geriye doğru tümevarım, özellikle kusursuz bilgili sıralı oyunlarda doğrudan uygulanır. Eksik veya kusurlu bilgili oyunlarda ise uygun bilgi ve inanç varsayımları gerekir. Geriye doğru tümevarımda önce son karar noktasındaki oyuncunun en iyi seçimi belirlenir; ardından önceki oyuncu, bu tepkiyi dikkate alarak karar verir. Satranç benzetmesi bu mantığı anlatır; fakat gerçek bir ekonomik modelde oyuncuların seçenekleri ve getirileri ayrıca verilmelidir.

Tekrarlanan oyun, aynı veya benzer stratejik durumun birden fazla kez yaşanmasıdır. Oyuncular yalnızca bugünkü getiriyi değil, gelecekteki etkileşimleri de hesaba katabilir. Bu nedenle bir dönemde işbirliği yapmayan oyuncuya sonraki dönemde karşılık verme veya cezalandırma stratejileri tartışılabilir. İşbirliğinin sürdürülebilirliği; oyunun kaç kez tekrarlandığı, geleceğin ne kadar önemsendiği, davranışların gözlemlenip gözlemlenmediği ve cezalandırmanın uygulanabilir olup olmadığına bağlıdır. Tek seferlik oyun sonucunu, tekrarlanan oyuna doğrudan taşımak doğru değildir.

Oligopol, pazarlık ve açık artırmada stratejik bağımlılık

Oligopol piyasasında az sayıda firma bulunduğu için bir firmanın fiyat veya üretim kararı rakibin satışlarını ve kârını etkileyebilir. Cournot türü analizlerde stratejik değişken üretim miktarı; Bertrand türü analizlerde ise fiyat olabilir. Hangi modelin kullanılacağı, firmaların hangi değişken üzerinde karar verdiği ve ürünlerin nasıl tanımlandığına bağlıdır. Bu nedenle yalnızca “rekabet varsa denge oluşur” demek yeterli değildir; strateji seti, talep ve maliyet varsayımları belirtilmelidir.

Pazarlık oyunlarında taraflar, toplam kazancın nasıl bölüşüleceği ve anlaşma olmazsa hangi dış seçeneğe sahip olacakları konusunda stratejik karar verir. İşveren-sendika görüşmesi veya şirket birleşmesi gibi durumlarda teklif sırası, reddetme seçeneği ve tarafların anlaşmaya ne kadar önem verdiği sonucu etkiler. Bağlayıcı anlaşmanın mümkün olmadığı bir durum, kooperatif oyunlardaki bağlayıcı işbirliği varsayımıyla karıştırılmamalıdır.

Açık artırmalarda teklif verenler, nesnenin değerinin yanı sıra diğer katılımcıların olası tekliflerini de düşünür. İngiliz, Hollanda ve kapalı zarf usulleri aynı nesne için farklı karar ortamları yaratır; çünkü teklif verme sırası ve rakip tekliflerinin görülüp görülmemesi değişir. Oyun teorisi burada “en yüksek teklifi vermek” gibi tek bir genel kural sunmaz; değerleme, bilgi ve açık artırma kuralı birlikte incelenir.

Regülasyon ve kamu politikalarında da firmalar, düzenleyici kurumlar ve diğer devletler birbirlerinin hamlelerini öngörür. Çevre politikası veya uluslararası anlaşma gibi konularda tek taraflı çıkar ile ortak sonuç arasındaki fark, sıfır toplamlı olmayan oyunların neden önemli olduğunu gösterir.

Çözümlü örnek: iki firmanın reklam kararı

Verilenler: A ve B adlı iki firma aynı anda “Reklam” veya “Reklam yapmama” seçeneklerinden birini seçsin. Aşağıdaki getiriler yalnızca yöntemi göstermek için oluşturulmuş varsayımsal sayılardır; ilk sayı A’nın, ikinci sayı B’nin getirisidir.

A’nın satır, B’nin sütun oyuncusu olduğu matris:

B: Reklam | Reklam yok A: Reklam (2,2) | (5,1) A: Reklam yok (1,5) | (4,4)

1. A’nın en iyi tepkisini bulalım. B reklam yaptığında A için reklamın getirisi 2, reklam yapmamanın getirisi 1’dir; bu durumda A reklamı seçer. B reklam yapmadığında A için reklamın getirisi 5, reklam yapmamanın getirisi 4’tür; A yine reklamı seçer. Dolayısıyla A’nın reklam stratejisi baskındır.

2. B’nin en iyi tepkisini bulalım. A reklam yaptığında B için reklamın getirisi 2, reklam yapmamanın getirisi 1’dir. A reklam yapmadığında B için reklamın getirisi 5, reklam yapmamanın getirisi 4’tür. B açısından da reklam baskın stratejidir.

3. Dengeyi belirleyelim. Her iki oyuncu da reklamı seçtiğinde ortaya çıkan (Reklam, Reklam) hücresinde iki oyuncu da diğerinin seçimi sabitken tek taraflı değişimle getirisini artıramaz. Bu nedenle bu hücre saf stratejilerde Nash dengesidir.

4. Yorumu yapalım. Denge getirileri (2,2), reklam yapmama hücresindeki (4,4)’ten düşüktür. Buna rağmen her oyuncunun tek taraflı reklamdan vazgeçmesi kendi getirisini 2’den 1’e düşürür. Örnek, Nash dengesinin istikrar gösterdiğini; fakat toplam getiriyi veya ortak açıdan en iyi sonucu garanti etmediğini somutlaştırır.

Çözümlü örnek: sıralı piyasaya giriş kararı

Verilenler: Yeni bir firma piyasaya girmeyi veya girmemeyi seçsin. Girişten sonra mevcut firma “fiyat kırma” veya “fiyatı koruma” kararı versin. Mevcut firmanın sonraki kararındaki getirileri, fiyat kırma durumunda kendisi için 1, fiyatı koruma durumunda 3 olsun. Yeni firma açısından giriş sonrası getiriler sırasıyla -1 ve 2 olsun. Giriş olmazsa getiriler (0,4) olarak verilsin. İlk sayı yeni firmanın, ikinci sayı mevcut firmanın getirisidir.

1. Son karar noktasını çözün. Yeni firma girdikten sonra mevcut firma, 1 ile 3’ü karşılaştırır ve kendi getirisi daha yüksek olduğu için fiyatı korur.

2. İlk oyuncunun kararını belirleyin. Yeni firma giriş yaparsa, mevcut firmanın rasyonel tepkisi fiyatı korumaktır ve yeni firmanın getirisi 2 olur. Giriş yapmamak yeni firmaya 0 getirdiği için, verilen sayılara göre giriş tercih edilir.

3. Sonucu yazın. Geriye doğru tümevarım sonucu strateji yolu “giriş, ardından fiyatı koruma”dır; gerçekleşen getiriler (2,3) olur.

4. Sınırı belirtin. Bu sonuç, mevcut firmanın fiyat kırma tehdidinin inandırıcı olmadığı bu varsayımsal getiriler altında geçerlidir. Eğer fiyat kırmak mevcut firma için 3’ten daha yüksek getiri sağlasaydı, son karar değişebilir ve ilk firmanın giriş kararı da yeniden değerlendirilirdi. Sıralı oyunlarda tehditlerin yalnızca söylenmiş olması değil, karar anında oyuncunun çıkarına uygun olması önemlidir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

Nash dengesi ile baskın stratejiyi eşitlemek: Baskın strateji, rakibin bütün olası seçimlerine karşı daha iyi olan stratejidir. Nash dengesi ise belirli bir strateji birleşiminde karşılıklı en iyi tepki koşuludur. Biri tüm sütun veya satırlara, diğeri belirli hücreye ilişkin bir koşuldur.

Getiri çiftlerinin sırasını karıştırmak: (A,B) gösteriminde ilk sayı satır oyuncusuna, ikinci sayı sütun oyuncusuna aittir. Oyuncu 2’nin en iyi tepkisini ararken ilk sayılara bakmak hatalıdır.

En yüksek toplam getiriyi Nash dengesi sanmak: Toplamı büyük olan hücre, tek taraflı sapma mümkünse denge değildir. Önce her oyuncunun kendi getirisini artırıp artıramadığı kontrol edilmelidir.

Sıralı oyunda matrisi doğrudan kullanmak: Önceki hamlenin görüldüğü oyunlarda karar sırası önemlidir. Son oyuncunun tepkisi çözülmeden ilk oyuncunun seçimini belirlemek, güvenilir olmayan bir tehdit varsayımına yol açabilir.

Her oyunda tek ve saf denge aramak: Birden fazla saf denge olabilir; bazı oyunlarda saf denge bulunmayıp karma strateji gerekir. “Nash dengesi vardır” ifadesi, her sonlu oyunda karma strateji uzayında en az bir Nash dengesi bulunduğu anlamına gelir; saf dengeler bu uzayın yozlaşmış özel halleridir. Saf denge yoksa gerçekten karma en az bir denge vardır.

İşbirliği ile kooperatif oyunu karıştırmak: Tekrarlanan bir oyunda gelecekteki karşılık beklentisi işbirliğini teşvik edebilir. Bu, tarafların bağlayıcı anlaşma yapabildiği kooperatif oyun varsayımıyla aynı değildir.

Rasyonellik varsayımını gözden kaçırmak: Geleneksel model kendi getirisini maksimize eden oyuncuları varsayar. Gerçek davranışlar bu varsayımdan sapabilir; davranışsal iktisat ve evrimsel oyun teorisi bu sınırlılığı farklı biçimlerde ele alır.