Ondalık Gösterim: Basamak Değeri, Kesre Çevirme ve İşlemler

Virgülün sağındaki basamaklar hangi parçayı gösterir?

Ondalık gösterimde virgülün hemen solundaki basamak birler basamağıdır. Sol tarafa gidildikçe onlar, yüzler ve daha büyük tam sayı basamakları gelir. Virgülün sağında ise basamakların değeri her adımda 10'a bölünür: ilk basamak onda birler, ikinci basamak yüzde birler, üçüncü basamak binde birler basamağıdır.

Örneğin $6,75$ sayısını basamaklarına ayıralım:

• $6$ birler basamağındadır ve değeri $6$'dır.
• $7$ onda birler basamağındadır ve değeri $\frac{7}{10}=0,7$'dir.
• $5$ yüzde birler basamağındadır ve değeri $\frac{5}{100}=0,05$'tir.

Bu nedenle sayı $6+\frac{7}{10}+\frac{5}{100}=6,75$ olur. Burada virgülden sonraki "75" tek bir basamak değeri değildir; $7$ onda bir ve $5$ yüzde birin birlikte gösterimidir.

Basamak sayısı, hassasiyet hakkında da bilgi verir. $2,3$ onda bir hassasiyetinde, $2,35$ yüzde bir hassasiyetinde, $2,350$ ise binde bir basamağı yazılmış biçimdedir. Bununla birlikte, matematiksel değer bakımından $2,35=2,350$ eşitliği geçerlidir; son sıfır değeri değiştirmez.

Sonlu ve devirli ondalık gösterim arasındaki sınır

Virgülden sonra belirli sayıda basamak yazıldığında ve devam eden basamak kalmadığında sonlu ondalık gösterimden söz edilir. $\frac{3}{10}=0,3$, $\frac{25}{100}=0,25$ ve $\frac{3}{4}=0,75$ sonlu gösterim örnekleridir.

Bazı kesirlerde bölme işlemi hiçbir zaman tam olarak bitmez. Örneğin $\frac{1}{3}=0,333...$ olur; burada $3$ rakamı tekrar eder ve bu gösterim devirlidir. Sonlu gösterim ile devirli gösterimi karıştırmamak gerekir: $0,3$ ile $0,333...$ aynı sayı değildir. İlki $\frac{3}{10}$, ikincisi $\frac{1}{3}$ değerindedir.

Bir kesri sonlu ondalık biçime çevirmek için paydayı 10, 100, 1000 gibi 10'un kuvvetlerinden birine dönüştürmek pratik bir yoldur. Örneğin $\frac{3}{4}$ kesrinin paydasını 100 yapmak için pay ve paydayı 25 ile çarparız: $\frac{3}{4}=\frac{75}{100}=0,75$. Bu yöntem her kesirde işe yaramaz. Örneğin $\frac{1}{3}$'ün paydasını yalnızca 2 ve 5 ile çarparak 10'un kuvvetine dönüştüremeyiz; bu nedenle sonucu devirli olur.

Dolayısıyla "Her kesir ondalık gösterimle yazılabilir mi?" sorusunun doğru cevabı şudur: Her kesir sonlu ya da devirli bir ondalık gösterime dönüştürülebilir; fakat her kesir sonlu ondalık gösterime sahip değildir.

Ondalık sayıyı kesre çevirirken basamak sayısını kullanma

Virgülden sonra $n$ basamak bulunan ve tam kısmı olmayan bir ondalık sayı, paydası $10^n$ olan bir kesir biçiminde yazılabilir. Tam kısım varsa sayı önce bütünüyle paya aktarılır.

Örneğin $0,48$ sayısında virgülden sonra iki basamak vardır. Bu nedenle $0,48=\frac{48}{100}$ olur. Kesir sadeleştirilirse $\frac{48}{100}=\frac{12}{25}$ elde edilir. $3,25$ için ise virgül kaldırılarak $\frac{325}{100}$ yazılır ve bu kesir $\frac{13}{4}$ biçiminde sadeleşir.

Başta bulunan sıfırlar da basamak sayısına dahildir. $0,07$ sayısında virgülden sonra iki basamak vardır; bu yüzden $0,07=\frac{7}{100}$'dür, $\frac{7}{10}$ değildir. Buradaki sıfır, yüzde birler basamağının önünde yer tutar ve sayının onda birden küçük olduğunu gösterir.

Ters yönde, paydası 10, 100 veya 1000 olan bir kesri ondalığa çevirirken paydaki rakamlar uygun basamaklara yerleştirilir. $\frac{7}{100}=0,07$ ve $\frac{42}{1000}=0,042$ örneklerinde sıfırların yazılması, basamak konumunu korumak için zorunludur. Ancak ondalık kısmın en sonunda bulunan sıfırlar, örneğin $0,50$'deki son sıfır, değeri değiştirmez.

Ondalık sayıları karşılaştırmanın güvenli yolu

Ondalık sayıları karşılaştırırken önce tam kısımlarına bakılır. Tam kısmı büyük olan sayı daha büyüktür. Tam kısımlar eşitse virgülden sonraki basamaklar soldan sağa karşılaştırılır: önce onda birler, eşitse yüzde birler, sonra binde birler basamağı incelenir.

Örneğin $4,72$ ile $4,68$ karşılaştırılırken tam kısımlar eşittir. Onda birler basamağında $7>6$ olduğu için $4,72>4,68$ sonucuna ulaşılır. $3,4$ ile $3,38$ karşılaştırmasında ise basamak sayılarının farklı olması yanıltmamalıdır. $3,4$ sayısını $3,40$ olarak yazabiliriz. Onda birler eşit olduğundan yüzde birler karşılaştırılır ve $40>38$ olduğu için $3,4>3,38$ olur.

Sayıyı yalnızca virgülden sonra yazan rakamların oluşturduğu tam sayıyla karşılaştırmak hatalıdır. Örneğin $2,9$ sayısının virgül sonrası rakamı $9$, $2,35$ sayısınınki ise $35$ olsa da $2,9=2,90>2,35$'tir. Karşılaştırma, rakamların kendi başına oluşturduğu sayılarla değil, bulundukları basamak değerleriyle yapılmalıdır.

Dört işlemde virgülün yerini nasıl kontrol ederiz?

Ondalık sayılarda toplama ve çıkarma yapılırken aynı basamaklar alt alta getirilir; bunun için virgüller aynı hizaya yazılır. Gerekirse sayıların sonuna sıfır eklenebilir: $2,5=2,50$. Böylece $2,50+1,35=3,85$ işlemi doğrudan yapılır.

Ondalık sayılarla çarpma işleminde önce virgül yokmuş gibi çarpma yapılır. Daha sonra çarpanlarda virgülden sonra toplam kaç basamak bulunduğu sayılır ve sonuçta virgül sağdan bu kadar basamak sola konur. Örneğin $1,2\times0,35$ işleminde toplam üç ondalık basamak vardır. $12\times35=420$ olduğundan sonuç $0,420=0,42$ olur.

10, 100 veya 1000 ile çarpmada virgül sırasıyla bir, iki veya üç basamak sağa kayar; bölmede ise sola kayar. Bu kural, sayının basamak değerlerine dayanır ve virgülün rastgele taşınması olarak ezberlenmemelidir. Örneğin $4,08\times100=408$, $4,08\div100=0,0408$ olur.

Toplama ve çıkarma ile çarpma kurallarını birbirine karıştırmamak gerekir. Toplama işleminde virgüller hizalanır; çarpma işleminde ise toplam ondalık basamak sayısı kullanılır. Sonuç, yaklaşık bir işlemle de kontrol edilmelidir: $1,2$ ile $0,35$ çarpımı 1'den küçük olmalıdır; $0,42$ bu beklentiyle uyumludur.

Çözümlü örnekler: kesir dönüşümü ve basamak karşılaştırması

Örnek 1 — Verilen: $\frac{3}{4}$ kesrini ondalık gösterime, $0,75$ sayısını da sade kesre çevirin.

Çözüm adımları:

1. $\frac{3}{4}$ kesrinin paydasını 100 yapmak için pay ve paydayı 25 ile çarparız: $\frac{3\times25}{4\times25}=\frac{75}{100}$.
2. Paydası 100 olan kesri ondalık gösterime çeviririz: $\frac{75}{100}=0,75$.
3. Ters dönüşümde $0,75$'in virgül sonrası iki basamağı olduğunu görürüz. Bu nedenle $0,75=\frac{75}{100}$.
4. Pay ve paydayı 25'e bölerek sadeleştiririz: $\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$.

Sonuç: $\frac{3}{4}=0,75$ ve $0,75=\frac{3}{4}$.

Örnek 2 — Verilen: $2,7$, $2,68$ ve $2,705$ sayılarını küçükten büyüğe sıralayın.

Çözüm adımları:

1. Tam kısımların üçünde de 2 olduğunu belirleriz.
2. Basamak sayılarını eşitlemek için $2,7=2,700$ ve $2,68=2,680$ yazarız.
3. Şimdi $2,680$, $2,700$ ve $2,705$ karşılaştırılır.
4. Küçükten büyüğe sıralama $2,68<2,7<2,705$ olur.

Sonuç: Virgülden sonra daha fazla rakam bulunması sayının otomatik olarak daha büyük olduğunu göstermez; basamak değerleri karşılaştırılır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

1. Virgülden sonraki rakamları tek bir tam sayı sanmak: $0,8$ ile $0,35$ karşılaştırılırken 8 ve 35'i kıyaslamak yanlıştır. $0,8=0,80$ olduğundan $0,8>0,35$'tir.

2. Başta bulunan sıfırı yok saymak: $0,05$, $\frac{5}{100}$'dür. Bunu $0,5$ kabul etmek sayıyı 10 kat büyütür.

3. Son sıfır ile yer tutan sıfırı ayırmamak: $0,50=0,5$ eşitliğinde sondaki sıfır değeri değiştirmez. Buna karşılık $0,05$ içindeki sıfır, yüzde birler basamağını koruduğu için atılamaz.

4. Sonlu gösterim ile devirli gösterimi eşit sanmak: $0,3$ ve $0,333...$ farklı sayılardır. Birincisi $\frac{3}{10}$, ikincisi $\frac{1}{3}$'tür.

5. Toplamada virgülleri hizalamamak: $12,5+3,27$ işlemi, $12,50+3,27$ olarak yazılmalıdır; sonuç $15,77$'dir.

6. Kesre çevirirken paydayı yanlış seçmek: Virgülden sonra iki basamak varsa payda 10 değil, $100$ olur. Bu nedenle $1,25=\frac{125}{100}$ yazılır ve sadeleştirilerek $\frac{5}{4}$ bulunur.

7. Ondalık gösterim ile ölçüm hassasiyetini aynı şey sanmak: $2,35$ ve $2,350$ matematiksel olarak eşittir. Fakat bir ölçümde yazılan basamak sayısı, ölçümün hangi hassasiyetle kaydedildiğine ilişkin bilgi taşıyabilir; bu yorum matematiksel değerin değiştiği anlamına gelmez.