Kesirlerde İşlemler: Dört İşlem ve Çözümlü Örnekler

Payda neden ortak birime dönüştürülür?

Toplama ve çıkarma işlemlerinde aynı tür parçalar bir araya getirilmelidir. Örneğin $\frac{1}{3}$ bir bütünün üçte birini, $\frac{1}{2}$ ise yarısını gösterir. Bu parçaların büyüklükleri aynı olmadığı için paylar doğrudan toplanamaz. Önce ortak bir payda seçilir:

$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}, \qquad \frac{1}{2}=\frac{3}{6}$

Artık her iki kesir de altıda birlik parçalarla ifade edildiği için işlem yapılabilir: $\frac{2}{6}+\frac{3}{6}=\frac{5}{6}$.

Ortak payda bulurken paydaların ortak katlarından yararlanılır. 3 ve 2 için 6 uygun bir ortak paydadır. Daha büyük sayılarda mümkünse en küçük ortak katı kullanmak, ara sayıları küçültür ve hata ihtimalini azaltır. Ancak seçilen ortak paydanın mutlaka en küçük olması şart değildir; önemli olan her iki paydaya da bölünebilmesidir.

Genişletme, kesrin değerini değiştirmeden pay ve paydayı aynı sayıyla çarpmaktır. Örneğin $\frac{1}{3}$ kesrini 2 ile genişletmek $\frac{2}{6}$ sonucunu verir. Sadeleştirme ise pay ve paydayı ortak bölen bir sayıya bölerek kesri daha küçük sayılarla yazmaktır. Bu işlemler kesrin değerini değiştirmez; yalnızca gösterim biçimini değiştirir.

Paydanın 0 olamayacağı unutulmamalıdır. $\frac{a}{0}$ biçimindeki bir kesir tanımlı değildir. Bu koşul, bütün kesir işlemlerinin başlangıç kontrolüdür.

Toplama ve çıkarmada ortak payda adımları

Paydaları eşit kesirlerde toplama ve çıkarma doğrudan yapılır: paylar toplanır veya çıkarılır, ortak payda korunur.

$\frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{a+b}{m}$ $\frac{a}{m}-\frac{b}{m}=\frac{a-b}{m}$

Paydalar farklıysa şu sıra izlenir:

1. Paydaların ortak katını belirleyin.
2. Her kesri bu paydaya genişletin.
3. Payları toplayın veya çıkarın.
4. Sonucu sadeleştirin.
5. Sonucun başlangıçtaki büyüklüklerle uyumlu olup olmadığını kontrol edin.

Örneğin:

$\frac{5}{8}-\frac{1}{6}$

8 ve 6'nın ortak katlarından biri 24'tür. Kesirler şöyle dönüştürülür:

$\frac{5}{8}=\frac{15}{24}, \qquad \frac{1}{6}=\frac{4}{24}$

Böylece:

$\frac{15}{24}-\frac{4}{24}=\frac{11}{24}$

Burada sonuç sadeleşmez; çünkü 11 ile 24'ün 1'den başka ortak böleni yoktur.

Çıkarma işleminde sıra önemlidir. $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$ iken $\frac{1}{4}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}$ olur. Pozitif kesirlerle çalışılan ölçü problemlerinde negatif sonuç, çoğu zaman çıkarılan miktarın başlangıç miktarından büyük olduğunu gösterir; bu nedenle problem bağlamı ayrıca değerlendirilmelidir.

Çarpmada miktarın bir kısmını bulma

Kesirle bir sayının veya başka bir kesrin belirli bir kısmını bulmak için çarpma kullanılır. Genel kural şöyledir:

$\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$

Örneğin $\frac{2}{3}$ metrenin $\frac{3}{5}$'i soruluyorsa:

$\frac{2}{3}\times\frac{3}{5}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$

Çarpma işleminde toplama ve çıkarmadaki gibi payda eşitleme gerekmez. Çünkü burada aynı tür parçaları yan yana eklemekten çok, bir miktarın başka bir oranını buluruz. 'Bir miktarın $\frac{c}{d}$'si' ifadesi görüldüğünde miktarın $\frac{c}{d}$ ile çarpılması gerekir.

İşlemden önce veya sonra sadeleştirme yapılabilir. Örnekteki 3 sayısı, birinci kesrin payında ve ikinci kesrin paydasında bulunduğu için çapraz sadeleştirme yapılabilir:

$\frac{2}{\cancel{3}}\times\frac{\cancel{3}}{5}=\frac{2}{5}$

Bu yöntem yalnızca çarpma işleminde, çarpanların pay ve paydaları arasında uygulanır. Toplama veya çıkarma işleminde çapraz sadeleştirme yapılamaz.

Pozitif ve 1'den küçük iki kesir çarpıldığında sonuç, çarpanların her birinden küçük olabilir. Bu, sonucu kontrol etmek için yararlı bir tahmindir; ancak kesirlerden biri 1'den büyükse bu karşılaştırma aynı biçimde kullanılamaz. Örneğin $\frac{3}{2}\times\frac{2}{3}=1$ olur.

Bölmede ters çevirme kuralının koşulu

Kesirlerde bölme, ikinci kesrin yani bölenin tersiyle çarpma olarak yapılır:

$\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{ad}{bc}$

Burada birinci kesir aynen bırakılır, bölme işareti çarpmaya çevrilir ve ikinci kesir ters çevrilir. Örneğin:

$\frac{3}{4}\div\frac{1}{2}=\frac{3}{4}\times\frac{2}{1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$

Sonucun $\frac{3}{2}$ olması, $\frac{3}{4}$'ün içinde kaç tane $\frac{1}{2}$ bulunduğu sorusuna cevap verir. Üç çeyrek, bir yarımın bir buçuk katıdır. Başka bir deyişle, $(3/4)\div(1/2)=3/2$ olur.

Bu kuralın geçerli olması için bölen kesrin 0 olmaması gerekir. $\frac{a}{b}\div 0$ tanımlı değildir; dolayısıyla bölenin payı 0 ise işlem yapılamaz. Örneğin $\frac{2}{5}\div\frac{0}{7}$ ifadesinde ikinci kesir 0'a eşittir ve sonuç yoktur. Ayrıca yalnızca ikinci kesir ters çevrilir; birinci kesri ters çevirmek farklı bir işlem oluşturur.

Bölmede de çarpma gibi işlemden önce sadeleştirme yapılabilir. Bunun için bölme, önce ters çevrilmiş kesirle çarpma biçiminde yazılmalıdır. Ardından çarpanlar arasında ortak bölen varsa sadeleştirilir.

Tam sayılı kesirleri işlem yapılabilir biçime çevirme

Tam sayılı kesir, bir tam sayı ile basit kesrin birlikte yazılmasıdır. Örneğin $2\frac{1}{2}$ ifadesi, 2 tam ve bir yarım anlamına gelir. Dört işlemde özellikle çarpma ve bölmede doğrudan çalışmak yerine bileşik kesre dönüştürmek daha güvenlidir.

Dönüşüm için tam sayı payda ile çarpılır, pay eklenir ve sonuç paya yazılır:

$2\frac{1}{2}=\frac{2\times2+1}{2}=\frac{5}{2}$

Benzer biçimde:

$3\frac{1}{4}=\frac{3\times4+1}{4}=\frac{13}{4}$

Çıkarma ve toplamada tam sayılı kesirler bazen ayrı ayrı da düşünülebilir; fakat farklı paydalı kesirlerde bileşik kesre dönüştürmek işlem düzenini sadeleştirir. Sonuç bileşik kesir olarak bulunursa, gerekiyorsa tam sayılı kesre çevrilir. Bunun için pay paydaya bölünür; bölüm tam kısmı, kalan payı, bölen ise paydayı oluşturur.

Örneğin $\frac{7}{3}$ için 7'nin 3'e bölümünde bölüm 2, kalan 1 olduğu için:

$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Sonucu hangi biçimde yazacağınız sorunun isteğine bağlıdır. 'Bileşik kesir olarak' deniyorsa $\frac{7}{3}$, 'tam sayılı kesir olarak' deniyorsa $2\frac{1}{3}$ yazılır.

Çözümlü örnekler: işlem türünü seçerek ilerleme

Örnek 1 — Bir miktarın kalanını ve kalanının bir kısmını bulma

Verilenler: Başlangıçta 1 su bardağı süt vardır. Kek için $\frac{2}{3}$ su bardağı kullanılmış, kalan sütün $\frac{1}{4}$'ü kahveye ayrılmıştır. Kahveye ayrılan ve geriye kalan miktar bulunacaktır.

Çözüm adımları:

1. Kek sonrası miktarı bulun. Bir bütünü $\frac{3}{3}$ olarak yazalım:

$1-\frac{2}{3}=\frac{3}{3}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$

2. Kahveye ayrılan miktar, kalan sütün $\frac{1}{4}$'ü olduğu için çarpma yapılır:

$\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$

3. Son kalan miktarı bulmak için $\frac{1}{3}$'ten $\frac{1}{12}$ çıkarılır. Önce ortak payda 12 seçilir:

$\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{4}{12}-\frac{1}{12}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$

Sonuç: Kahve için $\frac{1}{12}$ su bardağı süt ayrılmış, geriye $\frac{1}{4}$ su bardağı süt kalmıştır. Buradaki kritik ayrım, 'kalan sütün $\frac{1}{4}$'ü' ifadesinin çıkarma değil çarpma gerektirmesidir.

Örnek 2 — Farklı paydalı toplama ve kesir bölme

Verilenler: $\frac{1}{3}+\frac{5}{6}$ işleminin sonucu, ardından bu sonucun $\frac{1}{2}$'ye bölümü bulunacaktır.

Çözüm adımları:

1. İlk işlem toplama olduğu için paydaları eşitleyin:

$\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$

2. Toplayın:

$\frac{2}{6}+\frac{5}{6}=\frac{7}{6}$

3. Bölme işlemine geçin. Bölen $\frac{1}{2}$ olduğu için tersini alıp çarpın:

$\frac{7}{6}\div\frac{1}{2}=\frac{7}{6}\times\frac{2}{1}=\frac{14}{6}=\frac{7}{3}$

4. İstenen biçime göre sonucu tam sayılı kesre dönüştürün:

$\frac{7}{3}=2\frac{1}{3}$

Sonuç: İşlemin sonucu $\frac{7}{3}$ veya $2\frac{1}{3}$'tür. İşlem açıkça $(\frac{1}{3}+\frac{5}{6})\div\frac{1}{2}$ şeklinde yazılmıştır. Parantezsiz ifadede ise çarpma ve bölme, toplama ve çıkarmadan önce yapılır.