Denklem Nedir? Bilinmeyeni Bulma ve Denklem Çözme

Eşitlik işareti denklemin hangi parçalarını birbirine bağlar?

Bir denklemde $=$ işaretinin solundaki ifade sol taraf, sağındaki ifade sağ taraf olarak adlandırılır. Örneğin $3x+5=14$ denkleminde $3x+5$ sol tarafı, $14$ ise sağ tarafı oluşturur. $x$ bilinmeyendir; $3$ ise $x$'in katsayısıdır. $5$ ve $14$ sabit sayılardır.

Denklemi çözmek, $x$ yerine yazıldığında sol tarafı sağ tarafa eşitleyen değeri bulmaktır. Örneğin $x+7=10$ için $x=3$ yazılırsa sol taraf $3+7=10$ olur; dolayısıyla eşitlik sağlanır. $x=4$ yazılırsa sol taraf $11$ olacağı için bu değer çözüm değildir.

Her eşitlik denklem değildir. $2+3=5$ bir eşitliktir ancak bilinmeyen içermediği için denklem olarak adlandırılmaz. Buna karşılık $2+x=5$ bilinmeyen içerir. Ayrıca değişken içeren her ifade yalnızca tek bir değeri bulmak için kullanılmayabilir. Örneğin $x+2=x+2$ ifadesi, tanımlı olduğu tüm $x$ değerlerinde doğru olan bir özdeşliktir; burada amaç tek bir bilinmeyen değeri bulmak değildir. Ortaokul ve lise sorularında önce ifadenin bir denklem mi, özdeşlik mi olduğunu ayırt etmek çözüm yaklaşımını belirler.

Terim karşıya geçmez: Eşitliğin iki tarafında aynı işlem yapılır

Denklem çözümünde sık kullanılan "karşıya geçirme" kısa yolu, aslında eşitliğin iki tarafına aynı işlemi uygulamaktır. $x+7=10$ denkleminde her iki taraftan $7$ çıkarılır:

$x+7-7=10-7$

Buradan $x=3$ elde edilir. Benzer biçimde $3x=15$ denkleminde her iki taraf $3$'e bölünür ve $x=5$ bulunur. Bölme işlemi yapılırken bölenin sıfır olmaması gerekir; bu örnekte $3\neq0$ olduğu için işlem geçerlidir.

Kullanılan ters işlemler şunlardır: toplamanın tersi çıkarma, çıkarmanın tersi toplama, sıfırdan farklı bir sayıyla çarpmanın tersi bölmedir. Amaç, bilinmeyenin yanında kalan işlemleri sırayla kaldırmaktır. Önce benzer terimler birleştirilir, sonra sabit terimler ayrılır, son olarak katsayıdan kurtulmak için bölme yapılır.

Genel biçim $ax+b=c$ olan birinci dereceden denklemde $a\neq0$ koşuluyla çözüm:

$ax+b=c$

$ax=c-b$

$x=\frac{c-b}{a}$

Buradaki $a\neq0$ koşulu önemlidir. Eğer $a=0$ ise ifade artık bilinmeyeni belirleyen birinci dereceden denklem biçiminde değildir. Örneğin $0x+5=5$ her $x$ için doğru, $0x+5=7$ ise hiçbir $x$ için doğru değildir.

Parantez ve benzer terimler açıldığında denklem nasıl sadeleşir?

Birinci dereceden denklemler yalnızca $x+7=10$ biçiminde verilmez. Parantez, birden fazla terim ve bilinmeyenin iki tarafta bulunduğu sorularda işlem sırası önem kazanır.

Önce parantez varsa dağılma özelliği kullanılır: $a(b+c)=ab+ac$. Ardından aynı türden terimler birleştirilir. $x$ içeren terimler bir tarafta, sabit terimler diğer tarafta toplanabilir; ancak bu, her iki tarafa yapılan işlemlerin kısa yazımıdır.

Örneğin $2(x+3)-4=x+7$ ifadesinde önce parantez açılır:

$2x+6-4=x+7$

Benzer sabit terimler birleştirilir:

$2x+2=x+7$

Her iki taraftan $x$ çıkarılır ve her iki taraftan $2$ çıkarılır:

$2x-x=7-2$

$x=5$

Sonuç, başlangıç denkleminde denenmelidir: $2(5+3)-4=16-4=12$ ve $5+7=12$. İki taraf da $12$ olduğundan çözüm doğrudur. Eşitliğin bir tarafındaki parantezi açıp diğer tarafı aynı işlemden geçirmemek, bu tür sorularda en yaygın hata nedenlerindendir.

Kesirli ve ondalık katsayılı denklemlerde paydaları nasıl kaldırırız?

Sabit paydalı kesirlerde, paydaların sıfırdan farklı ortak katıyla denklemin her iki tarafı çarpılabilir. Bu işlem eşitliği korur. Örneğin $\frac{x}{2}+3=9$ denkleminde her iki taraf $2$ ile çarpılır:

$2\left(\frac{x}{2}+3\right)=2\cdot9$

$x+6=18$

$x=12$

Değişken paydadaysa önce paydaları sıfır yapan değerler dışlanmalıdır. Ardından ortak payda olan değişkenli ifadeyle, bu tanım koşulları korunarak denklemin her iki tarafı çarpılabilir. Sıfır payda matematiksel olarak tanımlı değildir.

Ondalık gösterim içeren denklemlerde de aynı yaklaşım kullanılabilir. Örneğin $0,5x=6$ denkleminde $0,5$ katsayısından kurtulmak için her iki taraf $0,5$'e bölünür ve $x=12$ bulunur. Alternatif olarak her iki taraf $10$ ile çarpılarak $5x=60$ yazılabilir. Hangi yöntem seçilirse seçilsin, sonucun başlangıç denkleminde kontrol edilmesi gerekir.

Çözüm kümesinin hangi sayılardan seçileceği de probleme bağlıdır. Bir nesnenin sayısını anlatan sorularda sonuç doğal sayı olması beklenebilir; fakat cebirsel bir denklem kesirli, ondalık veya negatif bir çözüm verebilir. Bu nedenle çözüm kümesini, sorunun bağlamı ve verilen koşullarla birlikte değerlendirmek gerekir.

Sözel problemden denkleme geçerken hangi nicelik bilinmeyen seçilir?

Sözel bir problemi denkleme dönüştürmenin ilk adımı, doğrudan sorulan niceliği belirleyip ona bir sembol vermektir. Daha sonra cümledeki işlemler, başlangıçtan sonuca doğru matematiksel ifadeye çevrilir.

"Bir sayının 5 fazlası 12'dir" cümlesinde bilinmeyen sayıya $x$ denir. "5 fazlası" ifadesi $x+5$, "12'dir" ifadesi ise $=12$ anlamına gelir. Denklem $x+5=12$ olur. Buna karşılık "bir sayının 5 eksiği 12'dir" cümlesi $x-5=12$ şeklindedir; iki ifade birbirine benzemesine rağmen sonuçları farklıdır.

Bir niceliğin yarısı, $\frac{x}{2}$; üç katı, $3x$; bir sayının belirli bir sayıyla çarpımı ise ilgili katsayıyla gösterilir. Ancak "yarısı kaldı" ile "yarısı satıldı" aynı matematiksel durumu anlatmayabilir. Satılan miktar $\frac{x}{2}$ ise kalan miktar da, başlangıç miktarı $x$ kabul edildiğinde, $x-\frac{x}{2}$ olur. Cümledeki özne ve zaman sırasını dikkatle okumak, yanlış denklem kurmayı önler.

Çözümlü örnekler: verilen bilgiden sonuca ve kontrole

Örnek 1: Bilinmeyen iki tarafta

Verilenler: $2x+5=x+12$.

Çözüm adımları:

1. Bilinmeyen terimleri aynı tarafta toplamak için her iki taraftan $x$ çıkarılır: $2x-x+5=12$.
2. $x+5=12$ elde edilir.
3. Her iki taraftan $5$ çıkarılır: $x=7$.
4. Kontrol yapılır: Sol taraf $2\cdot7+5=19$, sağ taraf $7+12=19$.

Sonuç: Denklemin çözümü $x=7$'dir. Kontrol sırasında iki taraf aynı sayıya ulaşıyorsa bulunan değer başlangıç denklemine uygundur.

Örnek 2: Kesirli ifade içeren denklem

Verilenler: $\frac{x}{2}+4=10$.

Çözüm adımları:

1. Kesri kaldırmak için her iki taraf $2$ ile çarpılır: $x+8=20$.
2. Her iki taraftan $8$ çıkarılır: $x=12$.
3. Başlangıç denkleminde kontrol edilir: $\frac{12}{2}+4=6+4=10$.

Sonuç: $x=12$.

Örnek 3: Sözel durumdan denklem kurma

Verilenler: Bir sayının $3$ katının $2$ fazlası $20$'dir.

Çözüm adımları:

1. Bilinmeyen sayıya $x$ denir.
2. Sayının $3$ katı $3x$ olur.
3. Bunun $2$ fazlası $3x+2$ şeklinde yazılır.
4. Bu değer $20$'ye eşit olduğundan denklem $3x+2=20$ olur.
5. Her iki taraftan $2$ çıkarılır: $3x=18$.
6. Her iki taraf $3$'e bölünür: $x=6$.
7. Kontrol: $3\cdot6+2=18+2=20$.

Sonuç: Aranan sayı $6$'dır.