Olasılık Nasıl Hesaplanır? Formül, Örnekler ve Sınav İpuçları

Örnek uzay ile olay arasındaki farkı kurma

Bir deneyin ortaya çıkarabileceği tüm sonuçların kümesine örnek uzay denir ve $S$ ile gösterilir. Örnek uzayın eleman sayısı $n(S)$, toplam olası sonuç sayısını belirtir. Bir olay ise örnek uzayın içinden seçilen sonuçlar kümesidir; genellikle $A$ ile gösterilir ve bu olayın eleman sayısı $n(A)$ olarak yazılır.

Bir zar atma deneyinde örnek uzay $S=\{1,2,3,4,5,6\}$ olduğundan $n(S)=6$'dır. 'Tek sayı gelmesi' olayı ise $A=\{1,3,5\}$ biçiminde yazılır ve $n(A)=3$ olur. Burada olay, örnek uzayın tamamı değil, sorunun istediği sonuç grubudur.

Bu ayrım çözümün ilk kontrol noktasıdır. $n(A)$, $n(S)$'den büyük olamaz; çünkü istenen sonuçlar tüm sonuçların içinde yer alır. Ayrıca eş olasılıklı bir modelde olasılık $0$ ile $1$ arasında olmalıdır. $P(A)=0$, olayın örnek uzayda hiç karşılığının bulunmadığını; $P(A)=1$ ise olayın örnek uzaydaki bütün sonuçları kapsadığını gösterir.

Temel oranı ne zaman kullanabileceğinizi belirleme

Eş olasılıklı sonuçlar için temel formül şöyledir:

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

Burada $P(A)$, A olayının olasılığı; $n(A)$, A olayını oluşturan uygun sonuç sayısı; $n(S)$ ise tüm olası sonuçların sayısıdır. Sonuç kesir, ondalık veya yüzde biçiminde yazılabilir. Örneğin $\frac{3}{10}=0{,}3=$ dönüşümü, aynı olasılığın üç farklı gösterimidir.

Formülü uygularken 'tüm durumlar' ile 'istenen durumlar' aynı türden sayılmalıdır. Torbadaki topların renklerine göre sayım yapılıyorsa toplam top sayısı paydada, istenen renkteki top sayısı payda değil payda yer alır. İki zar atılıyorsa tek bir zarın altı yüzünü payda almak yerine, deneyin tüm sonuçlarını dikkate almak gerekir.

Eş olasılık koşulu önemlidir. Adil bir madeni parada Yazı ve Tura sonuçları eş olasılıklı kabul edildiği için her biri $\frac{1}{2}$ olarak yazılır. Verilen deneyde sonuçların eş olasılıklı olduğu belirtilmiyor veya deneyin yapısı bunu sağlamıyorsa, yalnızca sonuç adetlerini oranlamak doğru model olmayabilir.

‘En az bir’ sorularında tümleyeni kullanma

Bir olayın gerçekleşmemesi, o olayın tümleyeni olarak düşünülebilir. A olayının tümleyeni $A'$ ile gösterildiğinde, A ve A' birlikte örnek uzayın tamamını oluşturur. Bu nedenle:

$P(A')=1-P(A)$

Bu ilişki özellikle 'en az bir' ifadesinde işe yarar. 'En az bir Tura' demek bir veya daha fazla Tura gelmesi demektir; yalnızca bir Tura gelmesi anlamına gelmez. Böyle bir soruda doğrudan uygun durumları saymak mümkün olsa da, ters olayı yani 'hiç Tura gelmemesi' olayını bulup 1'den çıkarmak daha kısa olabilir.

İki madeni para atıldığında örnek uzay $S=\{YY,YT,TY,TT\}$ olarak yazılır. En az bir Tura gelmemesi yalnızca $YY$ durumunda gerçekleşir. Dolayısıyla en az bir Tura olasılığı $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ olur. Buradaki $Y$ Yazı'yı, $T$ Tura'yı temsil eder.

'En çok' ve 'en az' ifadelerini aynı anlamda kullanmayın. 'En az 2' değeri 2 veya daha fazlasını, 'en çok 2' değeri 2 veya daha azını kapsar. Sınır değerin dahil olup olmadığını bu kelimeler belirler.

Çözümlü örnekler: torba ve madeni para soruları

Örnek 1 — Torbadan kırmızı top çekme

Verilenler: Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi ve 5 sarı top vardır. Bir top rastgele çekiliyor. İstenen, kırmızı top çekme olasılığıdır.

1. Toplam sonuç sayısını bulalım.

Toplam top sayısı $3+2+5=10$ olduğundan $n(S)=10$'dur.

2. İstenen sonuçları belirleyelim.

Kırmızı topların sayısı 3 olduğundan $n(A)=3$'tür.

3. Formüle yerleştirelim.

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}=\frac{3}{10}$

4. Sonucu yorumlayalım.

Kırmızı top çekme olasılığı $\frac{3}{10}$, ondalık olarak $0{,}3$, yüzde olarak %30'dur. Bu yorum, kutudaki her topun çekilme şansının eşit olduğu rastgele çekim kabulüne dayanır.

Örnek 2 — İki madeni parada en az bir Tura

Verilenler: İki madeni para atılıyor. Paraların adil olduğu ve her atışın sonuçlarının eş olasılıklı kabul edildiği durumda en az bir Tura olasılığı soruluyor.

1. Örnek uzayı yazalım.

Olası sonuçlar $YY$, $YT$, $TY$ ve $TT$ olduğundan $n(S)=4$'tür.

2. İstenen olayı belirleyelim.

En az bir Tura içeren sonuçlar $YT$, $TY$ ve $TT$'dir. Bu nedenle $n(A)=3$ olur.

3. Olasılığı hesaplayalım.

$P(A)=\frac{3}{4}$

Aynı sonuç tümleyenle de bulunabilir: Hiç Tura gelmemesi $YY$ durumudur ve bunun olasılığı $\frac{1}{4}$'tür. O hâlde $P(\text{en az bir Tura})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ olur.

İki çözümün aynı çıkması, örnek uzayın doğru kurulduğunu kontrol etmek için kullanılabilir.

Zar ve birden fazla deneyde sayımı düzenleme

Tek zar atma sorularında örnek uzay genellikle $\{1,2,3,4,5,6\}$ olduğundan payda 6 alınır. Tek sayı gelmesi için uygun sonuçlar 1, 3 ve 5'tir; bu nedenle olasılık $\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$ olur. Buradaki sadeleştirme sonucu değiştirmez, yalnızca gösterimi kolaylaştırır.

Birden fazla deney yapıldığında deneyin tüm sonuçlarını birlikte düşünmek gerekir. İki madeni parada 2 sonuçlu iki deney olduğu için 4 sıralı sonuç ortaya çıkar: $YY$, $YT$, $TY$, $TT$. Sıralama önemlidir; ilk paranın Yazı, ikinci paranın Tura gelmesi ile ilk paranın Tura, ikinci paranın Yazı gelmesi farklı sonuçlardır.

Benzer biçimde iki zar atma sorusunda sonuçlar tek bir sayı değil, sıralı ikililer olarak ele alınır. Ancak böyle bir soruda doğrudan toplam sonuç sayısını kullanmadan önce zarların adil olduğu ve her sıralı sonucun eş olasılıklı kabul edildiği koşul kontrol edilmelidir. Sonuçları listelemek zorlaşıyorsa, her deneydeki seçenek sayılarının nasıl birleştiğini dikkatle saymak gerekir; amaç, hiçbir sonucu iki kez saymamak ve hiçbir sonucu dışarıda bırakmamaktır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

• Payda olarak yanlış toplamı kullanmak: 3 kırmızı, 2 mavi ve 5 sarı top bulunan kutuda payda yalnızca kırmızı ve mavi topların toplamı olan 5 alınamaz; deneyde çekilebilecek tüm topların sayısı olan 10 kullanılmalıdır.

• ‘En az bir’i ‘tam bir’ sanmak: İki parada en az bir Tura, bir Tura içeren $YT$ ve $TY$ yanında iki Tura içeren $TT$ durumunu da kapsar.

• Birden fazla atışta tek deneyin paydasında kalmak: İki parada örnek uzay 2 değil 4 sonuçtan oluşur. Sonuçların sırası, sorunun deney tanımına göre ayrı durumlar oluşturabilir.

• Eş olasılık koşulunu unutmak: $\frac{n(A)}{n(S)}$ oranı, sonuçların eş olasılıklı olduğu model içindir. Adil olduğu belirtilen zar veya madeni para bu varsayımı destekler; farklı olasılıkların verildiği bir durumda yalnızca adet oranı kullanılamaz.

• Olasılığı yüzdeye çevirirken hata yapmak: $\frac{3}{10}=0{,}3=$'dur; $\frac{3}{10}$'u doğrudan %3 olarak yazmak yanlıştır.

• Sonucu sınamamak: Eş olasılıklı bir modelde sonuç 0'dan küçük veya 1'den büyük çıkıyorsa sayım ya da işlem hatası vardır. Ayrıca uygun durum sayısı toplam durum sayısını aşamaz.

• Olay ile sonucu karıştırmak: 'Tek sayı gelmesi' bir olaydır; 1, 3 ve 5 ise bu olayı oluşturan sonuçlardır. Bu ayrım yapılmazsa $n(A)$ yanlış kurulabilir.