İşçi Problemleri: Birim İş, Ortak Hız ve Değişen Ekiplerle Çözüm

İşi 1 kabul etmek neyi değiştirir?

İşçi problemlerinde tamamlanması gereken iş çoğunlukla (1) olarak seçilir. Bu, işin gerçekten tek bir parça olduğu anlamına gelmez; tüm işi hesaplamada kolaylık sağlayan bir ölçektir. İşin (\frac{3}{4})'ü tamamlanmışsa kalan miktar (1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}) olur.

Bir işçi bir işi (a) saatte tamamlıyorsa, çalışma hızı: [ H=\frac{1}{a}\text{ iş/saat} ] şeklindedir. Buradaki hız, bir saatte tamamlanan iş oranıdır; fizik problemlerindeki kilometre/saat türü bir hızla karıştırılmamalıdır.

Soruda işin tamamı yerine işin belli bir kısmı ve bu kısmın süresi verilirse hız doğrudan şu şekilde bulunur: [ H=\frac{\text{tamamlanan iş miktarı}}{\text{geçen süre}} ] Örneğin bir işçi 4 saatte işin (\frac{2}{5})'ini yapıyorsa hızı (\frac{2}{5}\div4=\frac{1}{10}) iş/saat olur. Bu hızla işin tamamını bitirme süresi (1\div\frac{1}{10}=10) saattir.

Karar kuralı şudur: Hız büyüdükçe, aynı miktardaki iş için gereken süre azalır. Bir işçinin tek başına bitirme süresi veriliyorsa bu sürenin kendisi değil, tersi olan (\frac{1}{a}) ortak hesaplamada kullanılmalıdır.

Aynı anda çalışan işçilerin toplam hızı nasıl kurulur?

İşçiler aynı anda ve kesintisiz çalışıyorsa toplam çalışma hızı, bireysel hızların toplamıdır: [ H_{toplam}=H_1+H_2+\cdots+H_n ] İşin tamamı (1) kabul edildiğinde tamamlanma süresi: [ t=\frac{1}{H_{toplam}} ] Genel ilişki ise: [ \text{Yapılan iş}=\text{toplam hız}\times\text{zaman} ] veya [ W=(H_1+H_2+\cdots+H_n)t ] şeklindedir.

Örneğin biri işi 6 saatte, diğeri 8 saatte bitiriyorsa hızlar (\frac{1}{6}) ve (\frac{1}{8}) iş/saat olur. Ortak hız (\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{7}{24}) iş/saat; ortak tamamlanma süresi de (\frac{24}{7}) saattir.

Aynı hızda çalışan işçiler için kısa yol kullanılabilir. Bir işçi işi (a) saatte bitiriyorsa, aynı hızdaki (n) işçinin ortak hızı (\frac{n}{a}), süreleri ise (\frac{a}{n}) saattir. Bu kısa yol yalnızca işçilerin hızları eşit ve birlikte çalışma süresi aynı olduğunda geçerlidir. Farklı hızlı işçilerde veya çalışma aralıkları değiştiğinde hızların ayrı yazılması gerekir.

İşçilerin sonradan katıldığı sorularda zaman çizelgesi

Bir işçi grubunun sonradan eklenmesi ya da bazı işçilerin ayrılması, tek bir toplam hızla çözülemez. Çünkü her zaman aralığında çalışan kişi sayısı değişir. Bu durumda çözüm üç parçaya ayrılır:

1. Başlangıçta çalışan grubun hızını bulun.
2. Bu grubun çalıştığı süre boyunca yaptığı işi hesaplayın.
3. Kalan işi, yeni grubun hızıyla tamamlamak için gereken süreyi bulun.

Her aralık için: [ W_i=H_i\times t_i ] Toplam yapılan iş, aralıkların işlerinin toplamıdır: [ W_{toplam}=W_1+W_2+\cdots ] Sonuç (1)'e ulaştığında iş tamamlanır. Eğer toplam (1)'den küçükse kalan miktar (1-W_{toplam}) olarak yazılır.

Örneğin bir işçi işi 12 saatte bitiriyorsa hızı (\frac{1}{12}) iş/saat olur. Aynı hızdaki 3 işçi 4 saat çalışırsa yaptıkları iş (3\times\frac{1}{12}\times4=1) olur. Yani bu düzen altında iş 4 saatte tamamlanır; 4. saatten sonra iki işçinin eklenmesi sonucu değiştirmez, çünkü iş zaten bitmiştir. Bu tür sorularda verilen her bilgiyi otomatik olarak hesaba katmak yerine, önceki aralıkta işin tamamlanıp tamamlanmadığı kontrol edilmelidir.

Bir işçi ayrıldığında da aynı yöntem kullanılır: ayrılmadan önceki iş miktarı bulunur, kalan iş yeni toplam hızla hesaplanır. İşçilerin çalışma hızlarının değişmediği ve aynı iş üzerinde kesintisiz çalıştıkları varsayımı yoksa, doğrudan bu model uygulanmamalıdır.

Kısmi iş, kalan iş ve süre karşılaştırması

Soruda işin belirli bir bölümü tamamlanmış olarak verilebilir. Önce verilen kısmın gerçekten hangi miktarı gösterdiğini belirlemek gerekir. İşin (\frac{3}{4})'ü tamamlandıysa kalan (\frac{1}{4})'tür; işin (\frac{2}{5})'i tamamlandıysa kalan (\frac{3}{5})'tir.

Bir grubun toplam hızı (H), yaptığı iş (W) ve çalışma süresi (t) arasındaki ilişki: [ W=H\times t ] şeklindedir. Bu nedenle süreyi bulurken: [ t=\frac{W}{H} ] kullanılır. İşin tamamı için (W=1), kalan iş için ise kalan kesir yazılır.

Örneğin Ayşe işi 6 saatte, Mehmet 9 saatte bitiriyorsa ortak hızları: [ \frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3}{18}+\frac{2}{18}=\frac{5}{18} ] 'i iş/saat olur. İki saatte yaptıkları iş: [ \frac{5}{18}\times2=\frac{10}{18}=\frac{5}{9} ] 'dur. Kalan iş (1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}) olarak bulunur.

Süre karşılaştırması da önemli bir kontrol sağlar. Birlikte çalışan ve her ikisi de işi yapan işçilerin ortak süresi, tek tek çalışma sürelerinin en küçüğünden de kısa olmalıdır. Aksi bir sonuç, hızların toplanmadığını veya kesir bölme işleminin yanlış yapıldığını gösterebilir. Bu kontrol, işçilerin aynı anda çalıştığı ve işin yapılmasını engelleyen özel bir koşul bulunmadığı durumlar içindir.

Çözümlü örnekler: farklı hızlar ve aralıklı çalışma

Örnek 1 — Farklı hızdaki iki işçi

Verilenler: Ali bir işi 6 saatte, Veli aynı işi 8 saatte bitiriyor. İkisi birlikte çalışırsa iş kaç saatte tamamlanır?

1. Bireysel hızları yazın.

• Ali'nin hızı: (H_A=\frac{1}{6}) iş/saat
• Veli'nin hızı: (H_V=\frac{1}{8}) iş/saat

2. Ortak hızı bulun. Payda 24 seçilir: [ H_{ortak}=\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=\frac{4}{24}+\frac{3}{24}=\frac{7}{24} ]

3. Tamamlanma süresini hesaplayın. İşin tamamı (1) olduğundan: [ t=\frac{1}{7/24}=\frac{24}{7}\text{ saat} ]

4. Saati dakika cinsine çevirin. (\frac{24}{7}) saat yaklaşık 3,43 saattir. Ondalık kısmı dakikaya çevirmek için (0,43\times60) yapılır; sonuç yaklaşık 26 dakikadır.

Sonuç: İş yaklaşık 3 saat 26 dakikada tamamlanır. Sonucun hem 6 saatten hem de 8 saatten küçük olması beklenen durumdur.

Örnek 2 — Çalışma düzeni sonradan değişiyor

Verilenler: Bir işçi işi 12 saatte tamamlıyor. Aynı hızdaki 3 işçi 4 saat çalışıyor; ardından 2 işçi daha katılıyor. 4 saatten sonra işin ne kadarı kalır?

1. Bir işçinin hızını bulun. [ H=\frac{1}{12}\text{ iş/saat} ]

2. İlk grubun hızını yazın. [ H_1=3\times\frac{1}{12}=\frac{1}{4}\text{ iş/saat} ]

3. İlk 4 saatte yapılan işi hesaplayın. [ W_1=\frac{1}{4}\times4=1 ]

4. Kalan işi belirleyin. [ W_{kalan}=1-W_1=1-1=0 ]

Sonuç: İş 4 saatte tamamlandığı için 4 saatten sonra kalan iş (0)'dır. Sonradan katılan 2 işçi, tamamlanmış bir işe artık katkı yapmaz. Eğer ilk grup 4 saatte işi bitirmeseydi, yeni toplam hız (5\times\frac{1}{12}=\frac{5}{12}) alınarak kalan iş bu hıza bölünecekti.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Süreyi hız sanmak: Bir işçi işi 6 saatte bitiriyorsa hızı 6 değil, (\frac{1}{6}) iş/saat olur. Süre, tamamlanan iş miktarıyla ters orantılıdır.

2. Süreleri toplamak: 6 saatte ve 8 saatte bitiren iki işçi birlikte 14 saatte bitirmez. Toplanması gereken değerler süreler değil, (\frac{1}{6}) ve (\frac{1}{8}) biçimindeki hızlardır.

3. Kesirleri yanlış toplamak: (\frac{1}{6}+\frac{1}{8}), (\frac{2}{14}) değildir. Paydalar ortaklaştırılmalı; bu örnekte sonuç (\frac{7}{24}) bulunmalıdır.

4. Bölme işlemini ters kurmak: Süre aranırken (t=\frac{W}{H}) yazılır. İşin tamamı için bu, (1\div H)'dir; (H\div1) değildir.

5. Birimleri karıştırmak: Hız iş/saat olarak verildiyse süre saat olmalıdır. Dakika cinsinden verilen süre önce saate çevrilmeli veya tüm hızlar dakika üzerinden yeniden kurulmalıdır.

6. Farklı hızları eşit kabul etmek: Bir usta ve bir çırağın aynı sürede aynı işi yaptığı belirtilmiyorsa, ortak işçi sayısı için yalnızca kişi sayısıyla çarpma yapılamaz. Her birinin kendi hızı yazılmalıdır.

7. İşin tamamlandığını kontrol etmemek: Hesaplanan yapılan iş (1)'e eşit veya büyükse iş tamamlanmıştır. Bir aralıkta (1)'e ulaşılmışsa sonraki işçi değişiklikleri artık süreyi etkilemez.

8. Olumsuz katkıyı hesaba katmamak: Bir işçi işi yapan değil, yapılan işi bozan veya azaltan bir etkiye sahipse hızı toplamak yerine çıkarma gerekebilir. Ancak böyle bir etki soruda açıkça verilmelidir; sıradan işçi problemlerinde çalışanların hızları genellikle pozitif katkı olarak modellenir.

9. Özel çalışma koşullarını göz ardı etmek: İşçilerin aynı anda çalıştığı, hızlarının sabit kaldığı ve işin bölünerek yapılabildiği varsayımı yoksa standart (W=H\times t) modeli doğrudan kullanılamaz.