Kaldırma Kuvveti Hesaplama: Batan Hacim ve Denge

Kaldırma kuvvetinin kaynağı: basınç farkından Arşimet bağıntısına

Durgun bir sıvıda basınç, derinlikle artar. Bir cismin alt yüzeyi üst yüzeyinden daha derindeyse, alt yüzeye uygulanan basınç kuvveti yukarı yönde daha büyük olabilir. Yan yüzeylerdeki kuvvetlerin yatay bileşenleri çoğu simetrik durumda birbirini götürür; geriye net yukarı yönlü etki kalır. Bu net etki kaldırma kuvvetidir.

Arşimet ilkesine göre:

$F_k=V_{batan}\cdot d_{akışkan}\cdot g$

Burada $V_{batan}$, cismin akışkan tarafından yer değiştiren hacmidir; cismin toplam hacmi olmak zorunda değildir. $d_{akışkan}$, cismin değil, içinde bulunduğu sıvı veya gazın özkütlesidir. $g$ yer çekimi ivmesidir ve soruda farklı bir değer verilmemişse mevcut makalede olduğu gibi çoğu lise sorusunda $10\,m/s^2$ alınabilir; bazı sorular $9{,}8\,m/s^2$ değerini özellikle belirtebilir.

Bağıntının birim kontrolü de sonucu denetlemenin bir yoludur:

$\frac{kg}{m^3}\cdot m^3\cdot\frac{m}{s^2}=\frac{kg\cdot m}{s^2}=N$

Dolayısıyla sonuç Newton cinsinden çıkar. Bu formül, akışkanın özkütlesinin ilgili bölgede sabit kabul edildiği ve kaldırma kuvvetinin Arşimet ilkesiyle modellenebildiği problemlerde kullanılır.

Batan hacmi doğru seçmek: tamamen batmış, kısmen batmış ve askıda

Cisim tamamen sıvı içine batırılmışsa, sıvıyla dolmayan ve dışlanan hacim $V_{batan}$ olarak alınır. Sıvının içine girebildiği açık boşluklar yer değiştiren hacme dahil edilmez. Cismin sıvı içinde kalan hacmi değişmiyorsa ve açık boşluk bulunmuyorsa $V_{batan}=V_{cisim}$ alınabilir. Bu durumda cismin kütlesi veya özkütlesi, kaldırma kuvvetinin doğrudan formülündeki hacim ve akışkan özkütlesi yerine yazılmaz.

Cisim su yüzeyinde kısmen yüzüyorsa yalnızca suyun altında kalan bölüm akışkanı yer değiştirir. Bu nedenle $V_{batan}<V_{cisim}$ olur. Durgun suda yüzen bir cisim için düşey doğrultuda net kuvvet sıfırdır ve bu özel denge durumunda $F_k=G=m\cdot g$ yazılır. Bu eşitlik, cismin her hareketinde değil, cismin düşey yönde dengede olduğu durumda geçerlidir.

Cisim sıvı içinde askıda kalıyorsa tamamen batmış durumdadır; fakat ne dibe çöker ne de yüzeye çıkar. Denge koşulunda yine $F_k=G$ olur. Tamamen batmış olduğu için, sıvıyla dolmayan ve dışlanan hacim formülde $V_{batan}$ olarak kullanılır. Açık boşluk bulunmuyor ve sıvı cismin iç hacmine giremiyorsa bu hacim $V_{cisim}$e eşittir. Bu iki bilgi birlikte, cismin ortalama özkütlesinin akışkan özkütlesine eşit olduğu sonucu ile uyumludur.

Dibe değen cisimlerde dikkat gerekir. Cisim sıvı tarafından tamamen sarılmıyor veya tabanla temas yüzeyi basınç etkisini değiştiriyorsa yalnızca basit 'tam batmış' modeli yeterli olmayabilir. Lise düzeyindeki standart sorular genellikle taban etkisini ihmal edecek şekilde düzenlenir; soruda özel bir temas durumu verilmişse normal kuvvet de ayrıca değerlendirilmelidir.

Yüzme, batma ve askıda kalma kararını özkütleyle vermek

Bir cismin davranışını belirlemek için cismin ortalama özkütlesi ile akışkanın özkütlesi karşılaştırılır. Cisim homojen kabul ediliyorsa cismin özkütlesi $d_c=m/V$ bağıntısıyla bulunur. İçi boş cisimlerde ise malzemenin özkütlesi yerine cismin toplam dış hacmi üzerinden hesaplanan ortalama özkütle dikkate alınmalıdır.

Durgun bir akışkana bırakılan cisim için, standart ideal modelde:

• $d_c<d_{akışkan}$ ise cisim yüzeye çıkar ve dengede kısmen batar.
• $d_c=d_{akışkan}$ ise cisim tamamen batmış hâlde askıda kalabilir.
• $d_c>d_{akışkan}$ ise cisim aşağı yönde hareket eder ve uygun bir taban yoksa batar.

Bu sınıflandırmanın temelinde kuvvet karşılaştırması vardır. Tamamen batmış bir cisim için $F_k=d_{akışkan}V_{cisim}g$, ağırlık için $G=m g=d_cV_{cisim}g$ yazılır. Aynı hacim ve aynı $g$ için kaldırma kuvveti ile ağırlığı karşılaştırmak, özkütleleri karşılaştırmaya eşdeğerdir.

Yüzen cisimde batan hacim oranı da buradan çıkarılabilir. Dengedeyken:

$d_{akışkan}V_{batan}g=d_cV_{cisim}g$

Buradan:

$\frac{V_{batan}}{V_{cisim}}=\frac{d_c}{d_{akışkan}}$

sonucu elde edilir. Bu oran yalnızca cismin sıvı üzerinde dengede yüzdüğü durumda kullanılmalıdır. Örneğin oran $0{,}4$ ise cismin toplam hacminin yüzde 40'ı akışkan içinde bulunur; bu, cismin kütlesinin yüzde 40'ı anlamına gelmez.

Farklı sıvılarda ve gazlarda kuvveti karşılaştırma

Aynı batan hacim korunuyorsa kaldırma kuvveti akışkanın özkütlesiyle doğru orantılıdır: $F_k\propto d_{akışkan}$. Bu nedenle özkütlesi daha büyük bir sıvıda aynı hacmi batıran cisme daha büyük kaldırma kuvveti uygulanır. Ancak cisim serbest bırakılmış ve yüzmeye geçmişse batan hacim değişebilir; bu durumda yalnızca sıvı özkütlesine bakıp kuvveti doğrudan karşılaştırmak yeterli olmayabilir.

Bir cismin tamamen batmış olduğu iki ortam için:

$\frac{F_{k1}}{F_{k2}}=\frac{d_1}{d_2}$

ifadesi, cismin batan hacmi ve yer çekimi ivmesi iki durumda da aynıysa geçerlidir. Farklı gezegen veya ortamlarda $g$ de değişiyorsa karşılaştırmaya $g$ oranı eklenir.

Arşimet ilkesi gazlarda da prensip olarak geçerlidir; balonun yer değiştirdiği havanın ağırlığı kaldırma kuvvetini oluşturur. Fakat gazların özkütlesi sıvılara göre çok daha küçük olduğundan aynı hacim için kuvvet de genellikle daha küçüktür. Gaz sorularında sıcaklık, basınç ve gazın özkütlesi verilmişse bunlar dikkate alınmalıdır; kaynakta bulunmayan sayısal hava veya sıvı özkütlesi değerleri varsayılmamalıdır.

İp, dinamometre ve zemin varken kuvvet dengesi nasıl kurulur?

Kaldırma kuvveti tek başına cismin hareketini belirlemez. Cismin ağırlığı, ip gerilmesi, zemin tepki kuvveti ve varsa başka kuvvetler birlikte incelenir. Bunun için önce kuvvet diyagramı çizilir, ardından seçilen yönde Newton'un ikinci yasası uygulanır.

Durgun durumda düşey kuvvetlerin toplamı sıfırdır. Örneğin üstten bağlı bir iple yukarıdan tutulan ve dengede bulunan cisim için yukarı yönlü $F_k$ ve ip gerilmesi $T$, aşağı yönlü ağırlık $G$ ile dengelenir:

$F_k+T-G=0$

Buradan $T=G-F_k$ bulunur; ancak ipin basma kuvveti uygulayamaması nedeniyle bu sonucun fiziksel olarak geçerli olması için $T\geq0$ olmalıdır. Eğer $F_k>G$ ise ip gevşer veya cisim yukarı doğru ivmelenir; bu durumda bu denge denklemi kullanılamaz. Cisim sıvı içinde aşağıdan bir iple tutuluyorsa ipin yönü aşağı olabilir ve denklemde gerilmenin yönü değişir. Aynı şekilde zemine oturan cisimde normal kuvvet, temasın nasıl kurulduğuna bağlı olarak denkleme eklenir.

Dinamometrenin gösterdiği değer genellikle cismin ipteki gerilmesine karşılık gelir. Tamamen batmış bir cisim için üstten asılı ve dengede olan sistemde görünen ağırlık $T=G-F_k$ olur. Bu nedenle sıvıya batırılınca dinamometre değerinin azalması, cismin kütlesinin azaldığını değil, kaldırma kuvvetinin ip gerilmesinin bir kısmını dengelediğini gösterir.

Çözümlü örnekler: formülden denge denklemine

Örnek 1 — Tamamen batmış cisim

Verilenler: Hacmi $0{,}002\,m^3$ olan bir cisim, özkütlesi $1000\,kg/m^3$ olan suya tamamen batırılıyor. $g=10\,m/s^2$. Kaldırma kuvveti isteniyor.

1. Batan hacmi belirle: Cisim tamamen batmış olduğundan $V_{batan}=0{,}002\,m^3$.

2. Akışkan özkütlesini seç: Formüle girecek değer suyun özkütlesidir: $d_{akışkan}=1000\,kg/m^3$. Cismin özkütlesi kaldırma kuvveti hesabında kullanılmaz; batma davranışını yorumlamada kullanılabilir.

3. Formüle yerleştir:

$F_k=V_{batan}\cdot d_{akışkan}\cdot g$

$F_k=0{,}002\cdot1000\cdot10$

4. Birim ve sonuç: $0{,}002\cdot1000=2\,kg$ yer değiştiren su kütlesidir. $2\,kg\cdot10\,m/s^2=20\,N$.

Sonuç: Cisme yukarı yönde $20\,N$ kaldırma kuvveti etki eder. Bu sonuç, cismin yüzdüğü anlamına gelmez; yüzme veya batma kararı için ayrıca cismin ağırlığıyla karşılaştırma yapılmalıdır.

Örnek 2 — Yüzen cismin batan hacmi ve davranışı

Verilenler: Ortalama özkütlesi $600\,kg/m^3$, hacmi $0{,}005\,m^3$ olan bir cisim, özkütlesi $1000\,kg/m^3$ olan suya bırakılıyor. $g=10\,m/s^2$. Dengedeki batan hacim ve kaldırma kuvveti isteniyor.

1. Yüzme kararını ver: $600<1000$ olduğundan standart durgun sıvı modelinde cisim su yüzeyinde yüzer.

2. Ağırlığı hesapla: Cismin kütlesi $m=d_cV_c=600\cdot0{,}005=3\,kg$ olur. Ağırlık $G=m g=3\cdot10=30\,N$.

3. Denge koşulunu kullan: Yüzen cisim düşey dengede olduğundan $F_k=G=30\,N$.

4. Batan hacmi bul:

$F_k=d_{su}V_{batan}g$

$30=1000\cdot V_{batan}\cdot10$

$V_{batan}=0{,}003\,m^3$.

5. Oranı yorumla: $V_{batan}/V_cisim=0{,}003/0{,}005=0{,}6$. Cismin hacminin yüzde 60'ı su içinde, yüzde 40'ı su üstündedir.

Sonuç: Dengedeki kaldırma kuvveti $30\,N$, batan hacim $0{,}003\,m^3$ ve batan hacim oranı yüzde 60'tır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

Toplam hacmi her soruda kullanmak: Kısmen yüzen cisimde formüle toplam hacim değil, suyun içinde kalan ve akışkanı dışlayan hacim girer. Cisim tamamen batmış olsa bile sıvının içine girebildiği açık boşluklar varsa bu boşluklar batan hacme dahil edilmez; toplam hacim, sıvıyla dolmayan ve dışlanan hacme eşitse doğrudan kullanılabilir.

Cismin özkütlesini formüle yazmak: $F_k$ bağıntısındaki özkütle akışkana aittir. Cismin özkütlesi, ağırlığı hesaplamak ve yüzme-batma kararını vermek için kullanılır.

Yüzen cisimde $F_k=G$ eşitliğini hareket hâlinde kullanmak: Bu eşitlik düşey dengede geçerlidir. Cisim hızlanıyorsa net kuvvet sıfır olmayabilir; kuvvet denklemi $\sum F=m a$ biçiminde kurulmalıdır.

$cm^3$ ile $kg/m^3$ birimlerini dönüştürmeden çarpmak: SI birimleriyle çalışırken hacim $m^3$, özkütle $kg/m^3$, ivme $m/s^2$ seçilmelidir. Verilen bilgi $cm^3$ ise $1\,m^3=1.000.000\,cm^3$ dönüşümü kullanılmalıdır.

Ağırlığı kütle sanmak: Kütle kilogram, ağırlık Newton'dur. $m$ ile $G$ aynı büyüklük değildir; ağırlık $G=m g$ ile bulunur.

Daha yoğun sıvıda kuvvetin her durumda daha büyük olduğunu söylemek: Bu ifade aynı batan hacim ve aynı $g$ koşulunda geçerlidir. Cisim serbest yüzüyorsa batan hacim değişebileceği için önce denge koşulu incelenmelidir.

Kaldırma kuvvetini cismin şekli hiç etkilemez demek: Belirli bir batan hacim için kuvvet, şeklin kendisinden bağımsız olarak yer değiştirilen hacme bağlıdır. Fakat şekil, aynı kütlede cismin ne kadar hacim batıracağını etkileyebilir; gemi gövdesi bunun tipik örneğidir.

Dinamometre değerini gerçek ağırlıkla karıştırmak: Sıvı içindeki üstten asılı cisimde dinamometre gerilmesi $G-F_k$ olabilir. Bu değer cismin kütlesinin veya gerçek ağırlığının değiştiğini göstermez.