Kaldırma Kuvveti: Yüzme, Batma ve Arşimet İlkesi

Alt ve üst yüzey basıncı neden net bir kuvvet oluşturur?

Durgun bir sıvı içinde derinlik arttıkça sıvı basıncı artar. Bu nedenle tamamen veya kısmen sıvıya batmış bir cismin alt yüzeyine etki eden basınç, aynı cismin üst yüzeyine etki eden basınçtan daha büyüktür. Yan yüzeylerdeki basınç kuvvetleri uygun biçimde birbirini dengeleyebilir; alt ve üst yüzeylerdeki kuvvetlerin farkı ise yukarı yönlü net kuvvet oluşturur. Bu net kuvvete kaldırma kuvveti denir.

Dolayısıyla kaldırma kuvveti, yalnızca 'sıvının cismi yukarı itmesi' şeklinde ezberlenmemelidir; temel nedeni, akışkan basıncının derinlikle değişmesidir. Kaldırma kuvvetinin yönü, durgun ve yaklaşık uniform bir akışkanda düşey yukarıdır. Cismin ağırlığı ise Dünya'nın çekimi nedeniyle aşağı yönlüdür. Bu iki kuvvet aynı doğrultuda zıt yönlü olduğundan, cismin düşey hareketini belirlemek için büyüklükleri karşılaştırılır.

Bu açıklama, cismin akışkan içinde durduğu veya akışkanın durgun kabul edildiği ideal durum içindir. Akışkan akışı, sürüklenme ve başka temas kuvvetleri de varsa cisme etki eden toplam kuvvet yalnızca kaldırma kuvveti ve ağırlıktan ibaret olmayabilir.

Arşimet ilkesinde 'yer değiştiren akışkan' ne demektir?

Arşimet ilkesine göre kaldırma kuvvetinin büyüklüğü, cismin yer değiştirdiği akışkanın ağırlığına eşittir. Bu ifade matematiksel olarak $F_k=\rho_{akışkan}V_{batırılan}g$ biçiminde yazılır.

Burada $\rho_{akışkan}$ akışkanın yoğunluğunu, $V_{batırılan}$ cismin akışkan içinde kalan kısmının hacmini, $g$ yerçekimi ivmesini gösterir. Bir cisim tamamen suya batmışsa $V_{batırılan}$ cismin toplam hacmidir. Cisim yüzeyde yüzüyorsa yalnızca su altında kalan hacim hesaba katılır; cismin su üstündeki bölümü kaldırma kuvvetine katkı veren yer değiştirilmiş su hacmine dahil edilmez.

Örneğin $2\ \text{L}$ hacmindeki bir cisim tamamen suya batırılırsa, $2\ \text{L}=0{,}002\ \text{m}^3$ su yer değiştirir. Su için $\rho=1000\ \text{kg/m}^3$ ve $g=10\ \text{m/s}^2$ alınırsa kaldırma kuvveti $1000\times0{,}002\times10=20\ \text{N}$ olur.

Formülde cismin toplam hacmi değil, akışkana batmış hacmi kullanılır. Bu ayrım özellikle yüzen cisim sorularında belirleyicidir. Ayrıca aynı hacimdeki iki cisim aynı yoğunluktaki akışkana aynı oranda batırılmışsa, ideal durgun akışkan koşullarında kaldırma kuvvetleri eşit olur; cismin maddesi veya görünüşü tek başına sonucu belirlemez.

Yüzen, askıda kalan ve batan cisim nasıl ayırt edilir?

Karar vermek için kaldırma kuvveti ile ağırlık kuvveti karşılaştırılır. Cismin ağırlığı $G=mg$ ile bulunur.

• $F_k>G$ ise net kuvvet yukarı yönlüdür; cisim, tamamen batmış durumdan serbest bırakıldığında yükselir.
• $F_k=G$ ise düşey doğrultudaki net kuvvet sıfırdır. Cisim dengededir.
• $F_k<G$ ise net kuvvet aşağı yönlüdür; cisim aşağı doğru hareket eder.

Ancak 'yüzer' ifadesiyle 'sıvı içinde herhangi bir derinlikte hareketsiz kalır' ifadesi karıştırılmamalıdır. Bir cisim sıvı yüzeyinde yüzüyorsa dengede $F_k=G$ olur ve cismin yalnızca gereken kısmı sıvıya batar. Yoğunluk karşılaştırması da bu sonucu öngörmeye yardımcı olur: Cismin ortalama yoğunluğu sıvının yoğunluğundan küçükse cisim yüzeyde denge kurabilir; eşitse tamamen batmış hâlde askıda kalabilir; büyükse, başka bir destek yoksa batar.

Yüzen bir cisim için denge koşulu $\rho_{sıvı}V_{batırılan}g=mg$ şeklindedir. $m=\rho_{cisim}V_{toplam}$ yazılırsa, düzgün yoğunluklu bir cisim için $\frac{V_{batırılan}}{V_{toplam}}=\frac{\rho_{cisim}}{\rho_{sıvı}}$ sonucu elde edilir. Bu oran, cismin ne kadarının sıvı içinde kaldığını gösterir ve yalnızca yüzeyde dengede duran cisimler için kullanılmalıdır.

Tamamen su altında derinlik değişince ne olur?

Cisim tamamen su altında ve aynı hacimdeki aynı sıvı içinde bulunuyorsa, ideal durgun akışkan modelinde kaldırma kuvveti derinlikten bağımsız kabul edilir. Çünkü cismin yer değiştirdiği su hacmi değişmez ve suyun yoğunluğu da sabit alınır. Bu durumda cisim daha derine indirildiğinde hem üst hem alt yüzey basıncı artar; fakat basınç farkının oluşturduğu net kaldırma kuvveti aynı kalır.

Bu sonuç, cismin tamamen batmış olması ve çevresindeki akışkanın yaklaşık uniform özellik göstermesi koşuluna bağlıdır. Cisim kısmen batmışsa derinlik değişimi, batırılan hacmi değiştirebilir; bu durumda kaldırma kuvveti de değişir. Farklı yoğunlukta sıvı katmanları, sıkışabilirlik, akışkanın hareketi veya kabın tabanıyla temas gibi durumlarda basit model doğrudan uygulanmamalıdır.

Bir cismin tabana oturması da ayrıca önemlidir. Cisim ile taban arasında sıvı kalmıyorsa alt yüzey basıncının ideal biçimde hesaba katılması mümkün olmayabilir; tabanın uyguladığı normal kuvvet dengeye katılır. Bu nedenle 'tamamen batmış her cisimde yalnızca $F_k$ ve $G$ vardır' demek doğru değildir.

Kaldırma kuvveti deneyde nasıl ölçülür?

Bir cismin havadaki ağırlığı ile sıvı içindeki görünen ağırlığı karşılaştırılarak kaldırma kuvveti bulunabilir. Cisim dinamometreye veya uygun bir ölçüm düzeneğine asılır. Önce havadaki ağırlık $G$ okunur. Daha sonra cisim sıvıya tamamen batırılır; tabana ve kaba temas etmemesine dikkat edilir. Sıvı içindeki ölçüm, görünen ağırlık yani ipteki gerilme $T$ olarak alınır.

Denge hâlinde düşey kuvvetler için $T+F_k=G$ olduğundan $F_k=G-T$ elde edilir. Örneğin havada $12\ \text{N}$, su içinde $8\ \text{N}$ okunan bir cismin kaldırma kuvveti $4\ \text{N}$ olur. Bu değer, cismin görünen ağırlığının neden azaldığını açıklar; cisim gerçekten kütle kaybetmez, yalnızca su tarafından yukarı yönlü bir kuvvet alır.

Elektronik teraziyle yapılan düzeneklerde de ölçümün hangi büyüklüğü verdiği dikkatle okunmalıdır. Terazi değerinin kuvvete çevrilmesi için uygun birim ve düzenek bilgisi gerekir. Basit bir karşılaştırmada ölçülen ağırlık farkı, kaldırma kuvvetini verir. Deney sırasında cismin kaba değmesi, sıvının taşması, ipin sıvı içinde ek kuvvet oluşturması veya cismin yüzeye temas etmesi sonucu bozabilir.

Çözümlü örnekler: kuvvet karşılaştırması ve batma oranı

Örnek 1 — Tamamen batmış cisim:

Verilenler: Hacmi $0{,}002\ \text{m}^3$, kütlesi $1{,}5\ \text{kg}$ olan cisim suya tamamen batırılıyor. $\rho_{su}=1000\ \text{kg/m}^3$, $g=10\ \text{m/s}^2$.

1. Kaldırma kuvveti hesaplanır: $F_k=\rho_{su}V_{batırılan}g=1000\times0{,}002\times10=20\ \text{N}$.

2. Cismin ağırlığı bulunur: $G=mg=1{,}5\times10=15\ \text{N}$.

3. Kuvvetler karşılaştırılır: $F_k-G=20-15=5\ \text{N}$.

Sonuç: Net kuvvet $5\ \text{N}$ yukarı yönlüdür. Cisim tamamen batmış hâlde serbest bırakılırsa yükselmeye başlar. Yüzeye geldiğinde batırılan hacim azalır; böylece $F_k$ küçülür ve sonunda $F_k=G$ koşulunda yüzeyde dengelenir.

Örnek 2 — Yüzen cismin su altındaki hacmi:

Verilenler: Kütlesi $3\ \text{kg}$, toplam hacmi $0{,}004\ \text{m}^3$ olan cisim su üzerinde yüzüyor.

1. Dengedeki yüzen cisim için kaldırma kuvveti ağırlığa eşittir: $F_k=G=mg=3\times10=30\ \text{N}$.

2. Arşimet ilkesinden batırılan hacim çekilir: $30=1000\times V_{batırılan}\times10$. Buradan $V_{batırılan}=0{,}003\ \text{m}^3$ bulunur.

3. Toplam hacimle oranlanır: $\frac{V_{batırılan}}{V_{toplam}}=\frac{0{,}003}{0{,}004}=0{,}75$.

Sonuç: Cismin hacminin %75'i su altında, %25'i su üstündedir. Aynı sonuç ortalama yoğunlukla da kontrol edilebilir: $\rho_{cisim}=m/V=3/0{,}004=750\ \text{kg/m}^3$. Bu değer suyun yoğunluğundan küçük olduğu için cismin yüzmesi beklenir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

1. Kaldırma kuvvetini cismin ağırlığıyla eşitlemek: Bu eşitlik yalnızca dengede duran, özellikle yüzen veya askıda kalan cisim için geçerlidir. Cisim yukarı ya da aşağı ivmeleniyorsa $F_k$ ile $G$ eşit olmayabilir.

2. Formülde toplam hacmi kullanmak: Cisim kısmen batmışsa $V_{batırılan}$ kullanılmalıdır. Toplam hacim ancak cisim tamamen batmışsa doğrudan kullanılabilir.

3. Cismin derinliğini tek başına belirleyici sanmak: Aynı sıvıda tamamen batmış ve hacmi değişmeyen cisim için ideal modelde derinlik $F_k$'yı değiştirmez. Kısmi batma veya farklı yoğunluklu sıvı katmanlarında bu çıkarım geçerli olmayabilir.

4. Kaldırma kuvvetini sürtünmeyle karıştırmak: Kaldırma kuvveti akışkan basınçlarının net farkından doğar ve durgun akışkanda yukarı yönlüdür. Sürtünme ise temas yüzeylerinde veya akışkan hareketinde harekete karşı yönlü olabilir; aynı kuvvet değildir.

5. 'Yoğunluğu büyük olan cisim kesinlikle batar' ifadesini koşulsuz kullanmak: Karşılaştırma cismin ortalama yoğunluğu ile içinde bulunduğu akışkanın yoğunluğu arasında yapılır. Çelik parça suda batabilir; fakat çelikten yapılmış, içinde hava bulunan bir geminin ortalama yoğunluğu suyun yoğunluğundan küçük olabilir. Bu durumda gemi, yeterli miktarda suyu yer değiştirerek yüzebilir.

6. Basıncı kuvvet sanmak: Basınç birim yüzeye etki eden büyüklüktür; kaldırma kuvveti ise yüzeylerdeki basınç kuvvetlerinin bileşkesidir. Bu nedenle yalnızca tek bir noktadaki basınç değeriyle kaldırma kuvveti bulunamaz.

7. Buzdağının su üstündeki oranını her maddeye uygulamak: Yaklaşık %90 su altında gözlemi, buzun suyla yüzmesi gibi belirli yoğunluk oranlarına bağlıdır. Her yüzen cisim için aynı oran geçerli değildir; oran $\rho_{cisim}/\rho_{sıvı}$ ile belirlenir.