Basit Sarkaç Deneyi: Periyottan Yer Çekimi İvmesi Hesaplama

Asılma noktası ile kütle merkezi arasındaki uzunluğu doğru ölçme

Gerekli düzenek; sağlam bir destek, ince fakat esnemeyen bir ip, küçük ve yoğun bir kütle, cetvel veya metre ve kronometredir. Telefon kronometresi kullanılabilir; fakat kronometreyi başlatma ve durdurma sırasında insan tepki süresi ölçüme hata ekler.

Sarkacın uzunluğu yalnızca ipin görünen kısmı değildir. $l$, asılma noktası ile kütlenin ağırlık merkezi arasındaki uzaklıktır. Küre biçimli bir kütlede bu, ipin bağlandığı üst nokta ile kürenin merkezi arasındaki mesafedir. Bu ayrım önemlidir; çünkü formülde kullanılan uzunluk hatalı seçilirse hesaplanan $g$ değeri de sistematik olarak sapar.

Kütle, destek noktasına sağlam biçimde bağlanmalı ve ipin düğüm bölgesinde belirgin bir esneme olmamalıdır. Salınım düzlemi çevredeki eşyalara çarpmayacak şekilde boş bırakılmalıdır. Kütleyi serbest bırakırken itmek yerine yalnızca yana çekip bırakmak gerekir. Böylece başlangıçta fazladan yatay hız verilmez.

Periyodu tek salınımla değil, çoklu zaman ölçümüyle belirleme

Periyot ($T$), sarkacın aynı hareket durumuna yeniden gelmesi için geçen süredir. Uygulamada bir tam salınım; kütlenin bir uç konumdan diğer uca gidip başlangıç yönüyle ilk konuma dönmesi olarak sayılır. Aynı referans noktasını kullanmak, sayım hatasını azaltır.

Daha güvenilir yöntem, $N$ tam salınımın toplam süresini ($t$) ölçüp periyodu

$T=\frac{t}{N}$

bağıntısıyla hesaplamaktır. Örneğin 20 salınım 40,1 saniye sürmüşse bir salınımın periyodu $T=40,1/20=2,005$ saniyedir. Tek bir salınımı 2 saniye civarında ölçmeye çalışmak yerine 20 salınımı ölçmek, başlatma ve durdurma hatasının toplam süre içindeki etkisini küçültür.

Deney akışı şu şekilde uygulanabilir:

1. İpi ve kütleyi yerleştirip $l$ uzunluğunu asılma noktasından kütle merkezine kadar ölçün.
2. Kütleyi küçük bir açıyla yana çekin ve itmeden bırakın.
3. Kütle belirlediğiniz referans noktasından geçerken kronometreyi başlatın.
4. 10 veya 20 tam salınımı sayın ve toplam süreyi kaydedin.
5. Aynı uzunluk için ölçümü en az iki kez tekrarlayıp ortalama süreyi karşılaştırın.
6. Farklı uzunluklar kullanarak $l$ ile $T$ arasındaki değişimi inceleyin.

Ölçüm tablosunda en az şu sütunlar bulunabilir: $l$, salınım sayısı $N$, toplam süre $t$, hesaplanan periyot $T=t/N$ ve mümkünse $T^2$. $T^2$ sütunu, teorik ilişkiyi incelemek için özellikle yararlıdır.

Uzunluk-periyot ilişkisinden hangi sonucu çıkarmalı?

Küçük açı yaklaşımında basit sarkacın periyodu

$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}$

şeklindedir. Burada $T$ saniye cinsinden periyot, $l$ metre cinsinden uzunluk, $g$ yer çekimi ivmesi ve $\pi$ matematiksel sabittir. Bağıntının yorumu doğrudan orantı değildir: $T$, $l$ ile değil, $l$'nin kareköküyle değişir. Bu yüzden uzunluk dört katına çıkarılırsa periyot, aynı koşullar altında iki katına çıkar; uzunluk iki katına çıktığında periyot iki kat değil, $\sqrt{2}$ kat olur.

Bağıntı $T^2$ cinsinden yazılırsa

$T^2=\frac{4\pi^2}{g}l$

elde edilir. Bu ifade, $T^2$ ile $l$ arasında doğrusal bir ilişki olduğunu söyler. Yani ölçüm sonuçlarında $l$ arttıkça $T^2$ değerleri yaklaşık olarak doğru üzerinde toplanmalıdır. İdeal durumda doğrunun eğimi $4\pi^2/g$ olur ve buradan $g$ hesaplanabilir.

Kütlenin değeri bu ideal bağıntıda yer almaz. Bu, kütlenin hiçbir etkisinin olamayacağı anlamına gelmez; ipin ve kütlenin boyutlarının ihmal edilebildiği, ipin esnemediği ve hava direncinin küçük olduğu basit sarkaç modelinde periyot kütleden bağımsız kabul edilir. Büyük kütleli veya şekli geniş bir cisimde hava direnci değişebileceği için gerçek deney sonuçları ideal modelden uzaklaşabilir.

Salınım açısı da önemlidir. Formül, küçük açı koşulunda kullanılan yaklaşıma dayanır. Kütle çok fazla yana çekilirse hareket tam olarak ideal basit harmonik hareket gibi davranmaz ve ölçülen periyot formülle karşılaştırılırken fark büyüyebilir. Deney boyunca farklı uzunlukları karşılaştırırken başlangıç açılarını mümkün olduğunca benzer ve küçük tutun.

Ölçülen periyottan yer çekimi ivmesini hesaplama

Periyot ve uzunluk ölçüldüğünde temel bağıntı $g$ için yeniden düzenlenir:

$g=\frac{4\pi^2l}{T^2}$

Buradaki karar kuralı şudur: elde edilen $g$ değeri, kullanılan uzunluk metre ve periyot saniye cinsindeyse $\text{m/s}^2$ biriminde çıkar. Hesaplamada $T$'nin karesi paydaya girdiği için periyot ölçümündeki hata sonucu belirgin biçimde etkileyebilir. Bu nedenle kronometre ölçümünü çoklu salınım üzerinden yapmak, deneyin en önemli iyileştirmelerinden biridir.

Farklı uzunluklar için ayrı ayrı $g$ hesaplanabilir. Değerler birbirinden çok uzaksa önce aritmetik ortalama almak yerine düzenekteki nedenleri araştırmak gerekir: uzunluğun yanlış yerden ölçülmesi, salınım açılarının farklı olması, salınım sayısının hatalı sayılması veya kütlenin bırakılırken itilmesi olası nedenlerdir.

Bir başka yöntem, $T^2-l$ verilerini karşılaştırmaktır. Uzunluklar ve periyotlar ölçüldüğünde her satır için $T^2$ hesaplanır. Sonuçlar yaklaşık doğrusal artıyorsa model desteklenir. Sadece 'uzunluk arttı, periyot arttı' demek ilişkiyi tam olarak kanıtlamaz; karekök ilişkisini sınamak için $T^2$ ile $l$ karşılaştırması daha uygundur.

Yukarıdaki etkileşimli basit-harmonik-hareket aracıyla farklı uzunluk ve periyot değerlerini deneyerek, küçük açı yaklaşımının öngördüğü değişimi ölçüm yapmadan önce inceleyebilirsin.

Çözümlü örnek: 20 salınımdan g değerini bulma

Verilenler:

• Asılma noktası ile kütle merkezi arasındaki uzunluk: $l=1,00\ \text{m}$
• Ölçülen salınım sayısı: $N=20$
• 20 salınımın toplam süresi: $t=40,1\ \text{s}$
• $\pi\approx3,1416$

Çözüm adımları:

1. Önce tek salınımın periyodunu bulun: $T=\frac{t}{N}=\frac{40,1}{20}=2,005\ \text{s}$.

2. Periyodun karesini hesaplayın: $T^2=(2,005)^2\approx4,020\ \text{s}^2$.

3. Bağıntıda yerine koyun: $g=\frac{4\pi^2l}{T^2}$.

4. Sayısal hesabı yapın: $g\approx\frac{4\times(3,1416)^2\times1,00}{4,020}\approx9,82\ \text{m/s}^2$.

Sonuç: Bu örnek ölçüm, yer çekimi ivmesi için yaklaşık $9,82\ \text{m/s}^2$ değerini verir. Sonucun güvenilirliğini değerlendirmek için aynı uzunlukta tekrarlı ölçümler ve farklı uzunluklarda ek ölçümler yapılmalıdır. Tek bir ölçümden elde edilen değer, deney hatalarının etkisini göstermez.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

• İpi yalnızca görünen bölümünden ölçmek: Formüldeki $l$, destekten kütlenin merkezine olan uzaklıktır. Kütlenin yarıçapını veya bağlama noktasındaki düğümü göz ardı etmek sistematik hata oluşturur.

• Periyodu bir uçtan diğer uca gitme süresi sanmak: Uçtan karşı uca hareket yaklaşık yarım periyottur. Tam periyot için aynı hareket durumuna dönülmelidir.

• Uzunluk ile periyodu doğru orantılı sanmak: $T\propto l$ değil, küçük açı koşulunda $T\propto\sqrt{l}$ ilişkisi kullanılır. Bu nedenle uzunluk iki kat olduğunda periyot iki kat beklenmemelidir.

• Büyük açıyla ölçüm yapmak: Bağıntı küçük açı yaklaşımına dayanır. Büyük açı, teorik formülle ölçüm arasındaki farkı artırabilir.

• Kütle arttıkça periyodun kesin olarak artacağını düşünmek: İdeal basit sarkaç modelinde kütle formülde bulunmaz. Ancak hava direnci, cismin şekli ve ipin ideal olmaması gerçek düzeneği etkileyebilir.

• Kronometreyi her seferinde farklı noktada başlatmak: Bazen uç konumda, bazen orta noktada başlatmak sayımı ve karşılaştırmayı bozar. Aynı referans noktasını ve aynı geçiş yönünü kullanın.

• Salınımı iterek başlatmak: İtme, başlangıç koşulunu değiştirir. Kütleyi yana çekip serbest bırakmak daha uygundur.

• Birimleri karıştırmak: Uzunluk santimetre verilmişse metreye çevrilmelidir. Örneğin $100\ \text{cm}=1,00\ \text{m}$ olur. Periyot saniye cinsinde kullanılmalıdır.

• Güvenlik koşullarını atlamak: Destek gevşekse kütle düşebilir. Deney alanı boş bırakılmalı, bağlantı noktası salınım sırasında çözülmeyecek şekilde kontrol edilmelidir.