Asal Sayılar: Tanım, Asallık Testi ve Asal Çarpanlar

Asal sayıyı tanımdan değil, bölen sayısından ayırmak

Asal sayı, 1’den büyük ve pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ile kendisi olan doğal sayıdır. Buradaki iki koşul birlikte sağlanmalıdır.

Örneğin 7’nin pozitif bölenleri 1 ve 7’dir. Başka pozitif tam sayı böleni olmadığı için 7 asaldır. 12’nin bölenleri arasında 1 ve 12’nin yanı sıra 2, 3, 4 ve 6 da bulunduğundan 12 asal değildir. Böyle bir sayıya bileşik sayı denir.

1 sayısı asal değildir. Çünkü asal sayı olmak için sayı 1’den büyük olmalıdır; ayrıca 1’in pozitif bölen sayısı yalnızca 1’dir. Asal sayının ise tanım gereği iki farklı pozitif böleni bulunur: 1 ve sayının kendisi.

İlk asal sayılar şunlardır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31. 2 özel bir durumdur: Çift olmasına rağmen asaldır. 2 dışındaki her çift doğal sayı, 2’ye tam bölündüğü için asal olamaz. Bu nedenle 2, asal sayılar içindeki tek çift sayıdır.

Bir sayının asal olup olmadığına karar verirken yalnızca tek veya çift olmasına bakmak yeterli değildir. Tek sayılar arasında da 9, 15 ve 21 gibi bileşik sayılar vardır. Örneğin 9 tek olmasına karşın 3’e bölündüğü için asal değildir.

Karekök sınırı neden asallık testini kısaltır?

Bir N sayısının asal olup olmadığını kontrol ederken 2’den N-1’e kadar bütün sayıları denemek gerekmez. N’nin kareköküne kadar olan asal bölenleri kontrol etmek yeterlidir.

Bunun nedeni şudur: N bileşikse, N = a × b biçiminde iki pozitif tam sayının çarpımı olarak yazılabilir. Bu çarpanlardan en az biri $\sqrt{N}$’den küçük veya eşit olmak zorundadır. Aksi durumda iki çarpanın çarpımı N’den büyük olurdu. Dolayısıyla N bileşikse, N’nin asal bölenlerinden en az biri $\sqrt{N}$ sınırının içinde bulunur. Bu nedenle asallık testi yalnızca N > 1 için bu asal bölenlere kadar sürdürülür.

Uygulama kuralı: Önce N’nin 1’den büyük bir doğal sayı olduğunu kontrol edin. Sonra $\sqrt{N}$ değerini yaklaşık olarak belirleyin. Bu değerden küçük veya eşit asal sayılara bölünüp bölünmediğini kontrol edin. Bu asal sayıların hiçbirine tam bölünmüyorsa N asaldır.

Örneğin 29 için $\sqrt{29} \approx 5{,}38$ olduğundan 2, 3 ve 5 kontrol edilir. 29 çift değildir; rakamları toplamı 11 olduğu için 3’e bölünmez; son basamağı 0 veya 5 olmadığı için 5’e bölünmez. Bu üç asal bölenin hiçbiri 29’u bölmediğinden 29 asaldır.

Bu yöntem, karekökün kendisinin asal olup olmamasından bağımsızdır. Örneğin 49 için $\sqrt{49}=7$ olur ve 2, 3, 5 ve 7 kontrol edilir. 49, 7’ye bölündüğü için asal değildir. Sınırdaki asal sayıyı atlamak hatalı sonuç doğurabilir.

Bölünebilme kurallarıyla aday bölenleri hızla elemek

Karekök yöntemini kullanırken her bölme işlemini uzun yoldan yapmak gerekmez. Bazı aday bölenler, bölünebilme kurallarıyla hemen elenebilir.

2 için son basamağa bakılır: Son basamak çiftse sayı 2’ye bölünür. Bu kural, 2’den büyük çift sayıların asal olamayacağını gösterir.

3 için rakamlar toplamı kullanılır: Rakamlar toplamı 3’ün katıysa sayı 3’e tam bölünür. Örneğin 123 için $1+2+3=6$ olduğundan 123, 3’e bölünür ve asal değildir.

5 için son basamak kontrol edilir: Son basamak 0 veya 5 ise sayı 5’e bölünür. 5’in kendisi asal olsa da 5’ten büyük ve son basamağı 5 olan sayılar asal olamaz.

Bu kontroller bir karar kuralı sağlar: Bir sayı, kontrol edilen asal bölenlerden birine tam bölünüyorsa asal değildir. Hiçbirine bölünmüyorsa, kontrol aralığı $\sqrt{N}$’ye kadar tamamlanmış olmalıdır; ancak bu koşul sağlandığında asal olduğu sonucuna varılır. Sadece 2, 3 ve 5’e bölünmediğini görmek, sayı 25’ten büyükse tek başına yeterli değildir. Örneğin 49, 2, 3 ve 5’e bölünmez; fakat 7’ye bölündüğü için asal değildir.

Asal çarpan gösterimi bir sayının yapısını nasıl açıklar?

1’den büyük her doğal sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı biçiminde yazılabilir. Bu yazımda asal çarpanların sırası değişse bile kullanılan asal sayılar ve tekrar sayıları değişmez. Bu özellik, asal çarpanlara ayırmanın temelidir.

Örneğin 60 sayısı şu şekilde ayrılır: $60=2\times30=2\times2\times15=2^2\times3\times5$.

Burada 60’ın farklı asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir. Üsler ise her asal çarpanın kaç kez kullanıldığını gösterir. 2’nin üssü 2, 3 ve 5’in üsleri 1’dir. “Asal çarpanlar” ifadesi bazen yalnızca farklı asal sayıları, bazen de çarpımda tekrarlarıyla görünen asal bileşenleri anlatmak için kullanılır. Bu nedenle soruda istenen biçime dikkat edilmelidir.

Asal çarpan gösterimi EBOB ve EKOK hesaplarında da kullanılır. Örneğin iki sayının ortak asal çarpanlarının üsleri karşılaştırılırken EBOB için küçük üs, EKOK için büyük üs alınır. Bu karar kuralı, asal çarpanlara ayırmanın yalnızca bir gösterim değil, işlem aracı olduğunu gösterir.

Asal olan bir sayının asal çarpan gösterimi kendisidir. Örneğin 29’un asal çarpanı 29’dur. 1’in ise asal çarpanı yoktur; çünkü 1 asal sayı değildir ve asal çarpanların çarpımı olarak yazılmasında kullanılmaz.

Asal sayı, bileşik sayı ve çift sayı arasındaki sınırlar

Asal ve bileşik kavramları, 1’den büyük doğal sayılar için birbirini tamamlayan iki sınıftır. 1 bu sınıflandırmanın dışında tutulur: Ne asal ne de bileşiktir.

Bileşik sayı, 1 ve kendisi dışında en az bir pozitif tam sayı böleni olan 1’den büyük doğal sayıdır. 4, 6, 8 ve 9 bileşiktir. Örneğin $4=2\times2$ ve $9=3\times3$ biçiminde yazılır.

Çift olmak başka, asal olmak başka bir özelliktir. Çift sayılar 2’ye bölünen sayılardır; asal sayılar ise yalnızca iki pozitif böleni olan sayılardır. Bu iki tanımın kesişiminde yalnızca 2 bulunur. Tek sayılar ise 2’ye bölünmeyen sayılardır, fakat tek olan her sayı asal değildir.

Bir başka sınır durumu da sayının tanım kümesidir. Asal sayı tanımı doğal sayılar bağlamındadır ve bölenlerden söz ederken pozitif tam sayılar kullanılır. Negatif sayılar, bu temel tanım içinde asal sayı olarak sınıflandırılmaz. Bu nedenle soruda “asal sayı” denildiğinde 1’den büyük doğal sayılar üzerinde düşünülmelidir.

Çözümlü örnekler: asallık kontrolü ve asal çarpanlara ayırma

Örnek 1 — 97’nin asal olup olmadığını belirleyelim.

Verilen: $N=97$.

1. $\sqrt{97}$ değerini yaklaşık hesaplayalım: $\sqrt{97}\approx9{,}85$.
2. 9,85’e kadar olan asal bölenleri yazalım: 2, 3, 5 ve 7.
3. 97’yi 2 ile kontrol edelim: 97 tek olduğu için bölünmez.
4. 3 ile kontrol edelim: Rakamlar toplamı $9+7=16$ olduğundan 3’e bölünmez.
5. 5 ile kontrol edelim: Son basamak 0 veya 5 değildir, dolayısıyla 5’e bölünmez.
6. 7 ile kontrol edelim: $7\times13=91$ ve $7\times14=98$ olduğundan 97, 7’ye tam bölünmez.

Sonuç: 97, kareköküne kadar olan asal sayıların hiçbirine bölünmediği için asaldır. Ayrıca 97, iki basamaklı en büyük asal sayıdır.

Örnek 2 — 180’i asal çarpanlarına ayıralım.

Verilen: $N=180$.

1. En küçük asal sayı olan 2 ile başlayalım: $180\div2=90$.
2. 90 yine 2’ye bölünür: $90\div2=45$.
3. 45, 2’ye bölünmez; 3’e bölünür: $45\div3=15$.
4. 15, 3’e bölünür: $15\div3=5$.
5. 5 asal olduğu için son adımda $5\div5=1$.
6. Kullanılan asal çarpanları birleştirelim: $180=2\times2\times3\times3\times5=2^2\times3^2\times5$.

Sonuç: 180’in farklı asal çarpanları 2, 3 ve 5’tir; üsleriyle asal çarpan gösterimi $2^2\times3^2\times5$ olur. Çarpımı geri yaparak kontrol edebiliriz: $4\times9\times5=180$.