Asal Sayı Nedir? Tanımı, Kontrol Yöntemleri ve Çözümlü Sorular

Bir sayının asal sayılabilmesi için iki koşul

Bir doğal sayının asal olması için iki koşulun birlikte sağlanması gerekir:

1. Sayı 1’den büyük olmalıdır.
2. Pozitif tam sayı bölenleri yalnızca 1 ve kendisi olmalıdır.

Örneğin 7 sayısının pozitif bölenleri 1 ve 7’dir. Bu nedenle 7 asaldır. 6’nın bölenleri ise 1, 2, 3 ve 6’dır. 1 ile 6 dışında 2 ve 3 de bulunduğu için 6 asal değildir.

Burada 'yalnızca 1’e ve kendisine bölünür' ifadesi, sayının bu iki sayıya bölünmesi anlamına gelmez; bütün doğal sayılar 1’e bölünür ve her sayı kendisine bölünür. Belirleyici ölçüt, 1 ve sayının kendisi dışında başka bir pozitif bölenin bulunup bulunmamasıdır.

Asal olmayan, 1’den büyük doğal sayılara bileşik sayı denir. Örneğin 9 bileşiktir; çünkü 9 = 3 × 3 ve 3, 1 ile 9 dışında bir bölenidir. Ancak 1, asal olmadığı hâlde bileşik de değildir. Çünkü bileşik sayılar, 1’den büyük olup ikiden fazla pozitif böleni bulunan sayılardır.

İlk asal sayılar 2, 3, 5, 7, 11, 13 ve 17’dir. 2’nin özel durumu, çift sayılar arasındaki tek asal olmasıdır. 2’den büyük her çift sayı 2’ye bölündüğü için en az 1, 2 ve kendisi olmak üzere birden fazla pozitif bölen taşır.

Bölen sayısını saymak yerine asal kontrolü nasıl yapılır?

Küçük sayılarda bir sayının bölenlerini listelemek yeterlidir. Fakat sayı büyüdükçe her sayıyı tek tek denemek gereksiz hâle gelir. Önce hızlı eleme yapılmalıdır.

İlk kontrol 2’dir: Sayı 2’den büyük ve çiftse asal değildir. Örneğin 28, 2’ye tam bölündüğü için asal olamaz. Sayının son basamağı 0 veya 5 ise sayı 5’e tam bölünür; sayı 5’ten büyükse yine asal değildir. Rakamları toplamı 3’ün katı olan bir sayı, 3’e tam bölünür. Örneğin 123 için rakamlar toplamı 1 + 2 + 3 = 6’dır; 6, 3’ün katı olduğundan 123 asal değildir.

Bu hızlı kontroller yalnızca eleme yapar. Bir sayının 2’ye, 3’e veya 5’e bölünmemesi onun otomatik olarak asal olduğunu göstermez. Örneğin 49, 2’ye, 3’e ve 5’e bölünmez; fakat 7’ye bölündüğü için asal değildir.

Daha sistemli yöntemde, sayının 1 ve kendisi dışındaki olası bölenleri denenir. Büyük sayılarda yalnızca sayının kareköküne kadar olan asal bölenleri kontrol etmek yeterlidir. Bunun nedeni şudur: Eğer n sayısı bileşikse, n = a × b biçiminde yazılır ve çarpanlardan en az biri √n’den küçük veya eşit olur. Bu nedenle √n’ye kadar hiçbir asal bölen bulunmuyorsa n asaldır.

Bu yöntem uygulanırken sınır değeri de kontrol edilmelidir. Örneğin 49 için √49 = 7 olduğundan 7 mutlaka denenmelidir. 49 = 7 × 7 olduğu için sayı bileşiktir. Karekök sınırını kontrol etmemek, özellikle tam karelerde hata yapılmasına yol açar.

Asal çarpanlara ayırma: sayının yapı taşlarını bulmak

1’den büyük her doğal sayı ya asaldır ya da asal sayıların çarpımı biçiminde yazılabilir. Bu işlem asal çarpanlara ayırma olarak adlandırılır. Bir sayı asal ise ayrıştırma işlemi sayının kendisinde biter. Bileşik sayıda ise bölme işlemleri asal sayılarla sürdürülür.

Örneğin 84 sayısını ele alalım: 84 = 2 × 42 84 = 2 × 2 × 21 84 = 2 × 2 × 3 × 7

Dolayısıyla 84’ün asal çarpan gösterimi 84 = 2² × 3 × 7’dir. Buradaki asal çarpanlar 2, 3 ve 7’dir; 2’nin iki kez kullanılması ise üslü gösterimde 2² ile belirtilir.

Asal çarpanlara ayırma yalnızca sayının parçalanmasını sağlamaz. Bir sayının pozitif bölenlerini bulma, iki sayının ortak bölenlerini karşılaştırma, EBOB ve EKOK hesaplama gibi işlemlerde de kullanılır. Örneğin iki sayının ortak asal çarpanları ve bu çarpanların küçük üsleri EBOB hesabında; ortak asal çarpanların büyük üsleri ise EKOK hesabında kullanılır.

Bununla birlikte 'her sayı asal çarpanların çarpımıdır' ifadesi dikkatli okunmalıdır. 1, asal değildir ve asal çarpanların çarpımı biçiminde yazılmaz. Ayrıca asal sayının kendisi, daha küçük asal çarpanlara ayrılmaz; asal çarpanlara ayırma işlemi 1’den büyük bileşik sayılar için anlamlı biçimde uygulanır.

Çözümlü örnekler: verilenlerden sonuca ulaşma

Örnek 1 — 84 sayısının asal çarpanlarını bulun.

Verilen: 84.

1. adım: 84 çift olduğu için 2’ye bölünür. 84 ÷ 2 = 42.

2. adım: 42 de çift olduğu için tekrar 2’ye bölünür. 42 ÷ 2 = 21.

3. adım: 21, 3’e bölünür. 21 ÷ 3 = 7.

4. adım: 7 asal olduğu için işlem 7’de biter.

Böylece 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7 sonucuna ulaşılır. Sonuç olarak 84’ün farklı asal çarpanları 2, 3 ve 7’dir. 'Çarpanları' denirken tekrarlar dahil 2, 2, 3, 7 listesi; 'farklı asal çarpanları' denirken 2, 3, 7 listesi kastedilir.

Örnek 2 — 97 asal mıdır?

Verilen: 97.

1. adım: 97, 2’den büyük olmasına rağmen çift değildir; bu nedenle 2’ye bölünmez.

2. adım: Rakamları toplamı 9 + 7 = 16’dır. 16, 3’ün katı olmadığı için 97, 3’e bölünmez.

3. adım: Son basamağı 7 olduğu için 5’e bölünmez.

4. adım: √97 yaklaşık olarak 9,8’dir. Bu nedenle 97’nin asal olup olmadığını anlamak için 9,8’e kadar olan asal sayılar, yani 2, 3, 5 ve 7 kontrol edilir.

5. adım: 97; 2, 3, 5 ve 7’nin hiçbirine tam bölünmez. 9,8’den küçük veya eşit asal bölen bulunmadığı için 97 asaldır.

Sonuç: 97 asal sayıdır. Burada 11, 13 veya daha büyük sayıları denemeye gerek yoktur; çünkü bunlar √97 sınırının üzerindedir.

1, 2 ve bileşik sayılar neden ayrı değerlendirilir?

1, 2 ve bileşik sayılar, tanımın sınırlarını anlamak için birlikte karşılaştırılmalıdır.

1 sayısının yalnızca bir pozitif böleni vardır: 1. Asal sayı için iki pozitif bölen şartı bulunduğundan 1 asal değildir. 1’in bileşik sayılmamasının nedeni de 1’den büyük olma koşulunu sağlamamasıdır.

2’nin pozitif bölenleri 1 ve 2’dir. Bu nedenle asaldır. Aynı zamanda çift olan tek asal sayıdır. 2’den büyük çift sayılar ise 2’ye tam bölündüğü için asal olamaz.

3, 5, 7, 11 ve 13 gibi sayılar tek asal sayılara örnektir. Ancak her tek sayı asal değildir. 9, 15 ve 21 tektir; fakat sırasıyla 3, 3 ve 3’e tam bölündükleri için bileşiktir.

Bu ayrım, 'tek sayı asal sayıdır' biçimindeki hatalı çıkarımı önler. Doğru ifade şudur: 2 dışındaki asal sayılar tektir; fakat tek sayıların tamamı asal değildir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

1’i asal kabul etmek: 1, yalnızca kendisine bölünse de asal sayı tanımındaki '1’den büyük' koşulunu sağlamaz. Ayrıca asal sayının iki pozitif böleni olmalıdır; 1’in yalnızca bir böleni vardır.

Her tek sayıyı asal sanmak: 9, 15 ve 21 gibi tek sayılar bileşiktir. Teklik, yalnızca sayının 2’ye bölünmediğini gösterir; başka asal bölenlerin bulunmadığını göstermez.

Her çift sayıyı asal sanmak veya 2’nin özel durumunu unutmak: 2 asaldır. 2’den büyük çift sayılar ise 2’ye bölündükleri için asal değildir.

Birkaç bölen denedikten sonra kesin karar vermek: Bir sayı 2’ye ve 3’e bölünmüyorsa asal olduğu hemen söylenemez. 49 örneğinde olduğu gibi 7 gibi başka bir bölen bulunabilir.

Karekök sınırını yanlış kullanmak: √n’ye eşit olan asal bölen de kontrol edilmelidir. 49’da √49 = 7’dir ve 7’nin denenmesi gerekir.

Asal çarpan ile bütün çarpanları karıştırmak: 84’ün bütün pozitif bölenleri 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42 ve 84’tür. Asal çarpanları ise yalnızca 2, 3 ve 7’dir.

Asal sayı ile aralarında asal olmayı karıştırmak: İki sayının ayrı ayrı asal olması gerekmeden aralarında asal olabilirler. Örneğin 8 ve 9 asal değildir; fakat ortak pozitif bölenleri yalnızca 1 olduğu için aralarında asaldır. Bu kavram, bir sayının asal olup olmadığını değil, iki sayının ortak bölenlerini anlatır.

TYT ve AYT sorularında hızlı karar ipuçları

Sınavda asal sayı sorusu çoğu zaman doğrudan tanım, bölünebilme veya asal çarpanlara ayırma bilgisiyle çözülür.

Bir aralıkta asal sayıları ararken önce 1’i listeye almayın. 2’yi mutlaka değerlendirin; çünkü tek çift asal odur. Ardından çift sayıları eleyin. Son basamağı 5 olan sayıları, 5’in kendisi dışında, eleyin. Rakamları toplamı 3’ün katı olan sayıları da 3’e bölünebildikleri için eleyin.

Bir sayının asal çarpanlarını soran soruda bölme işlemine küçük asal sayılarla başlamak pratiktir: 2, ardından 3, 5, 7 ve gerekirse daha büyük asal bölenler denenir. Bölme sonucunda kalan sayı asal olduğunda işlem durdurulur.

Soruda 'kaç farklı asal çarpanı vardır?' deniyorsa üslerin tekrarını saymayın. 84 = 2² × 3 × 7 olduğundan farklı asal çarpan sayısı 3’tür. 'Asal çarpanlarının toplamı' istenirse 2 + 3 + 7 = 12 bulunur; 2²’deki iki tane 2, farklı asal çarpan sayısı sorusunda iki kez sayılmaz.

Bir sayının asal olup olmadığı soruluyorsa yalnızca olumlu örnek aramak yerine dışlayıcı bir bölen arayın. Sayının 1’den büyük olduğunu kontrol ettikten sonra uygun bir bölen bulmak, asal olmadığını kanıtlar. Hiçbir uygun bölen bulunamıyorsa kontrolü √n sınırına kadar tamamlamak gerekir.