Yüklemler Mantığı: Niceleyiciler, Değişkenler ve İlişkiler

Önermeler mantığının yetmediği cümlelerde iç yapıyı ayırmak

Önermeler mantığı, 'Ahmet çalışkandır' gibi bir cümleyi p; 'Ayşe çalışkandır' gibi başka bir cümleyi q olarak alır. Bu yöntem, p ve q arasındaki 've', 'veya' ya da 'ise' ilişkilerini incelemek için yeterlidir. Fakat iki cümlenin de 'çalışkan' yüklemini paylaştığını veya bir bireyin belirli bir özelliğe sahip olduğunu doğrudan göstermez.

Yüklemler mantığında cümle iki parçaya ayrılabilir: bireyi gösteren terim ve o birey hakkında söylenen yüklem. Örneğin Çalışkan(Ahmet), Ahmet adlı bireyin çalışkan olma özelliğine sahip olduğunu belirtir. Buradaki Ahmet bir sabit, Çalışkan ise tek yerli bir yüklemdir.

İlişki bildiren yüklemler birden fazla terim alır. Sever(Ahmet, Ayşe), Ahmet'in Ayşe'yi sevdiğini ifade edebilir. Burada ilk ve ikinci konumun anlamı farklı olduğundan Sever(Ahmet, Ayşe) ile Sever(Ayşe, Ahmet) aynı formül kabul edilmez. Bu nedenle yüklemin yerlilik derecesi ve argümanların sırası, sembolleştirmenin ayrılmaz parçalarıdır.

Yüklemler mantığının 'daha güçlü' olması, her doğal dil anlamını eksiksiz yakaladığı anlamına gelmez. Sistem, özellikle bireyler, özellikler, ilişkiler ve 'her/en az bir' türü nicelemeler için daha ayrıntılı bir temsil sunar.

Sabit, değişken, yüklem ve niceleyici arasındaki görev dağılımı

Bir formülü okumadan önce sembollerin görevini ayırmak gerekir:

• Birey sabiti belirli bir bireyi gösterir: s, Sokrates'i temsil edebilir.
• Birey değişkeni henüz belirli bir bireye bağlanmamış genel bir konumu gösterir: x, y ve z sık kullanılan değişkenlerdir.
• Tek yerli yüklem bir bireyin özelliğini belirtir: İnsan(x), Asal(x).
• İki yerli yüklem iki birey arasındaki ilişkiyi belirtir: Sever(x,y), Büyük(x,y).
• Bağlaçlar formülleri birleştirir: ¬ olumsuzlama, ∧ ve, ∨ veya, → ise, ↔ ancak ve ancak anlamı taşır.
• Niceleyiciler değişkenlerin kapsamını belirler: ∀x ve ∃x.

∀x P(x), 'her x için P(x)' demektir. Bu ifade, incelenen evrendeki bütün bireylerin P özelliğine sahip olduğunu söyler. ∃x P(x) ise 'en az bir x için P(x)' anlamındadır. Varoluşsal niceleyici birden fazla bireyin bulunmasını zorunlu kılmaz; tek bir birey de ifadeyi doğru kılabilir.

Bir değişken niceleyicinin kapsamındaysa bağlı değişkendir. ∀x P(x) formülünde x bağlıdır. P(x) açık formülünde doğruluk, modelin yanı sıra x'e verilen değişken değerlemesine bağlıdır. Serbest değişken içermeyen kapalı formüller ise değişken değerlemesi gerektirmeden değerlendirilir.

Niceleyicinin kapsamı parantezlerle açıkça gösterilmelidir. ∀x(P(x) → Q(x)) ile (∀x P(x)) → Q(x) aynı yapı değildir; ikinci yazımda Q(x)'in x'i serbest bırakılmıştır.

‘Tüm’ ve ‘bazı’ ifadelerini doğru biçimde sembolleştirmek

Türkçedeki 'tüm öğrenciler çalışkandır' cümlesinin en uygun temel biçimi ∀x(Öğrenci(x) → Çalışkan(x)) şeklindedir. Burada koşullu yapı önemlidir: Evren yalnızca öğrencilerden oluşmuyorsa, her bireyin öğrenci olması beklenmez; öğrenci olan bireylerin çalışkan olduğu söylenir.

'Tüm öğrenciler çalışkandır' ifadesini ∀x(Öğrenci(x) ∧ Çalışkan(x)) biçiminde yazmak farklı bir iddia üretir. Bu formül, evrendeki her bireyin hem öğrenci hem çalışkan olduğunu söyler. Genel bir sınıfın üyeleri hakkında konuşurken evrensel niceleyici altında çoğunlukla → kullanılır.

'Bazı öğrenciler çalışkandır' ise ∃x(Öğrenci(x) ∧ Çalışkan(x)) biçimindedir. Varoluşsal niceleyici altında ∧ kullanılması, aynı bireyin hem öğrenci hem çalışkan olmasını sağlar. ∃x(Öğrenci(x) → Çalışkan(x)) ise beklenen anlamı vermez; öğrenci olmayan herhangi bir birey, koşullu ifadeyi doğru kılabilir.

Olumsuzluklarda niceleyici dönüşümlerine dikkat edilir: ¬∀x P(x), ∃x¬P(x) ile eşdeğerdir; 'her x P'dir' doğru değilse en az bir x'in P olmaması gerekir. Benzer biçimde ¬∃x P(x), ∀x¬P(x) ile eşdeğerdir; 'P olan en az bir birey vardır' yanlışsa hiçbir birey P değildir. Bu dönüşümler, doğal dildeki 'herkes değil' ile 'hiç kimse' ayrımını çözümlemek için kullanılır.

Niceleyici sırası: herkesin bir kişisi ile ortak bir kişi arasındaki fark

Birden fazla niceleyici kullanıldığında soldan sağa diziliş yalnızca biçimsel bir ayrıntı değildir; kimin kime bağlı olduğunu belirler. ∀x∃y R(x,y), her x için ona bağlı olarak seçilebilecek en az bir y bulunduğunu söyler. Aynı y'nin bütün x'ler için kullanılacağı sonucu bu formülden çıkmaz.

Buna karşılık ∃y∀x R(x,y), bütün x'lerle R ilişkisi içinde olan en az bir ortak y'nin varlığını ileri sürer. Tam olarak bir ortak y isteniyorsa ayrıca teklik koşulu eklenmelidir. İkinci formül, ilkinden daha güçlü bir ortaklık iddiası içerir.

Örneğin R(x,y), 'x, y'yi sever' olsun:

• ∀x∃y Sever(x,y): Her kişinin sevdiği en az bir kişi vardır. Her kişi için seçilen kişi farklı olabilir.
• ∃y∀x Sever(x,y): Herkesin sevdiği en az bir ortak kişi vardır.

Bu iki formülün doğal dil karşılığı benzer görünse de mantıksal sonuçları aynı değildir. Ayrıca 'bir ve yalnız bir' anlamı, standart ∃ niceleyicisinin tek başına verdiği 'en az bir' anlamından farklıdır. Teklik ayrıca ifade edilmelidir; örneğin P olan iki bireyin birbirine eşit olduğunu belirten bir eşitlik koşulu eklenebilir.

Çözümlü örnekler: doğal dilden formüle ve öncülden sonuca

Örnek 1 — Verilenler: 'Bütün insanlar ölümlüdür. Sokrates insandır. O hâlde Sokrates ölümlüdür.'

Kullanılacak semboller: İnsan(x), Ölümlü(x), sabit s.

1. Genel önermeyi belirleyin: Bütün insanlar ölümlüdür. İnsan olmayan bireyler hakkında iddia kurulmadığı için koşullu yapı kullanılır: ∀x(İnsan(x) → Ölümlü(x)).
2. Tekil önermeyi yazın: İnsan(s).
3. Sonucu yazın: Ölümlü(s).
4. Akıl yürütme zincirini okuyun: Evrensel formül, İnsan(s) öncülündeki s bireyine uygulanır. s insan olduğundan, aynı birey için Ölümlü(s) elde edilir.

Sonuç: Argümanın biçimi geçerlidir. Buradaki çıkarımın dayanağı, 'insan' kavramının anlamı değil, öncüllerin sembolik yapısıdır. Öncüllerden biri yanlış olsaydı argümanın biçimsel geçerliliği ile gerçek dünyadaki doğruluğu ayrı konular olarak değerlendirilirdi.

Örnek 2 — Verilenler: 'Her öğrencinin danıştığı bir öğretmen vardır.'

Semboller: Öğrenci(x), Öğretmen(y), Danışır(x,y).

1. 'Her öğrenci' ifadesi x üzerinde evrensel niceleyici gerektirir: ∀x.
2. 'Bir öğretmen vardır' ifadesi, her öğrenci için en az bir öğretmen bulunduğunu anlatır: ∃y.
3. İlişkinin yönünü belirleyin: Öğrenci x, öğretmen y'ye danışır; bu nedenle Danışır(x,y) yazılır.
4. Öğretmen olma koşulunu aynı y'ye bağlayın: ∀x(Öğrenci(x) → ∃y(Öğretmen(y) ∧ Danışır(x,y))).

Sonuç: Formül, öğrencilerin aynı öğretmene danıştığını söylemez. Ortak bir öğretmen iddiası kurulacaksa ∃y'nin ∀x'ten önce gelmesi gerekir: ∃y(Öğretmen(y) ∧ ∀x(Öğrenci(x) → Danışır(x,y))).

Model, evren ve doğruluk: formül ne zaman gerçekten doğrudur?

Bir yüklemler mantığı formülünü yorumlamak için bir evren ve sembollerin bu evrendeki karşılıkları gerekir. Evren, üzerinde konuşulan bireyler kümesidir. Bir sabit evrendeki belirli bir bireye; bir yüklem ise evrendeki belirli bireyler kümesine veya ilişki çiftlerine karşılık gelir.

Örneğin evren {Ali, Ece} olsun. Öğrenci yüklemi yalnızca Ali için, Çalışkan yüklemi Ali ve Ece için doğru kabul edilsin. Bu modelde ∃x(Öğrenci(x) ∧ Çalışkan(x)) doğrudur; çünkü Ali iki koşulu da karşılar. ∀x(Öğrenci(x) → Çalışkan(x)) de doğrudur; çünkü öğrenci olan tek birey Ali'dir. Bu modelde ∀x Çalışkan(x) doğrudur; çünkü hem Ali hem Ece çalışkandır. Eğer Çalışkan yalnızca Ali için doğru olsaydı, Ece karşı örnek oluşturacağından formül yanlış olurdu.

Bu örnek karar kuralını gösterir: Evrensel formülü yanlışlamak için tek bir karşı örnek yeterlidir. Varoluşsal formülü doğrulamak için ise koşulları sağlayan en az bir tanık birey bulmak yeterlidir. Varoluşsal formülü yanlışlamak için evrendeki hiçbir bireyin koşulları sağlamadığını göstermek gerekir.

Bir argümanın mantıksal geçerliliği, öncüllerin doğru olduğu her yorumda sonucun da doğru olmasıyla ilgilidir. Bu, tek bir günlük durumun veya tek bir modelin sonucu desteklemesinden daha güçlü bir ölçüttür.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. 'Bazı'yı 'bazı ama hepsi değil' sanmak: ∃x P(x), en az bir P bireyi olduğunu söyler; P olanların tüm evreni oluşturmadığını belirtmez. 'Bazı öğrenciler çalışkandır' ifadesi, bütün öğrencilerin çalışkan olmasını mantıksal olarak dışlamaz.

2. Evrensel niceleyici altında yanlış bağlaç seçmek: 'Bütün öğrenciler çalışkandır' için ∀x(Öğrenci(x) → Çalışkan(x)) gerekir. ∧ kullanmak, öğrenci olmayan bireyleri de zorunlu olarak öğrenci ilan eder.

3. Varoluşsal niceleyicide ortak tanık kuramamak: ∃x(P(x) ∧ Q(x)), P ve Q'nun aynı bireyde birlikte bulunduğunu söyler. ∃xP(x) ∧ ∃yQ(y), P ve Q için iki farklı birey bulunmasına izin verir; bu iki ifade eşdeğer değildir.

4. Niceleyici sırasını değiştirmek: ∀x∃y R(x,y) ile ∃y∀x R(x,y) aynı anlama gelmez. İlkinde y, x'e göre değişebilir; ikincisinde bütün x'ler için aynı y'nin ilişkiyi sağlaması gerekir.

5. İlişkinin yönünü gözden kaçırmak: Sever(x,y) ile Sever(y,x) yer değiştiremez. Bir ilişkinin simetrik olduğu ayrıca verilmedikçe, bir yöndeki doğruluk ters yönde doğruluk sağlamaz.

6. Serbest değişkeni kapalı formül sanmak: P(x) ifadesinde x'in hangi bireye gönderimde bulunduğu belirlenmemiştir. ∀xP(x) ile ∃xP(x) farklı kapsamlar verir.

7. 'Tek bir' ile 'en az bir'i karıştırmak: ∃ yalnızca varlığı ifade eder. 'Tam olarak bir' veya 'tek bir' deniyorsa varlık koşuluna ek olarak teklik koşulu da yazılmalıdır.

8. Geçerlilik ile doğruluğu eşitlemek: Geçerli bir çıkarım, biçimin öncüller doğruyken sonucu zorunlu kılmasıdır. Bu, öncüllerin gerçek dünyada doğru olduğunu tek başına göstermez.