Tork Nasıl Hesaplanır? Kuvvet Kolu ve Denge Soruları

Tork formülünde r ile dik kuvvet kolu neden aynı şey değildir?

Bir kuvvetin dönme noktasına göre tork büyüklüğü iki eşdeğer biçimde yazılabilir:

$\tau=F\cdot r\cdot\sin(\theta)$

veya

$\tau=F\cdot d_\perp$.

İlk ifadede $F$, uygulanan kuvvetin büyüklüğüdür. $r$, dönme noktası ile kuvvetin uygulandığı nokta arasındaki uzaklıktır. $\theta$ ise dönme noktasından kuvvetin uygulama noktasına çizilen konum doğrultusu ile kuvvet vektörü arasındaki açıdır. Bu nedenle $r$, her durumda dik uzaklık anlamına gelmez.

İkinci ifadede $d_\perp$, dönme noktası ile kuvvetin etki çizgisi arasındaki en kısa, yani dik uzaklıktır. Bu uzaklık kullanılıyorsa sinüs çarpanı ayrıca yazılmaz. Başka bir deyişle, kuvvetin uygulama noktasına kadar olan doğrudan uzaklığı kullanıyorsanız $F\sin(\theta)$ bileşenini almalısınız; kuvvetin etki çizgisine olan dik uzaklığı kullanıyorsanız kuvvetin tamamı ile çarpabilirsiniz.

Torkun birimi Newton metre (N·m)'dir. Birimin yorumu şudur: kuvvetin büyüklüğü veya dönme noktasından etkili uzaklığı arttıkça döndürme etkisi büyür. Ancak N·m değeri tek başına dönme yönünü söylemez; yön için kuvvetin cismi saat yönünde mi, saat yönünün tersine mi döndürme eğiliminde olduğuna ayrıca bakılır.

Açı ve kuvvet bileşeni torku nasıl değiştirir?

Torka yalnızca kuvvetin dönmeye katkı yapan bileşeni katılır. Konum doğrultusuna dik kuvvet bileşeni $F_\perp=F\sin(\theta)$ olduğundan tork $\tau=F_\perp\cdot r$ biçiminde de yazılabilir.

Çubuğa ya da dönme noktasından uygulama noktasına uzanan konum doğrultusuna dik uygulamada $\theta=90^\circ$ olur ve $\sin(90^\circ)=1$ olduğundan $\tau=F\cdot r$ elde edilir. Aynı $F$ ve $r$ değerleri için bu, ulaşılabilecek en büyük tork büyüklüğüdür. Kuvvet, dönme noktasından uygulama noktasına uzanan konum doğrultusuna paralel veya zıt yönlü ise $\theta=0^\circ$ ya da $180^\circ$ olur ve tork sıfırdır. Burada kuvvetin var olması, tek başına dönme etkisi oluşturduğu anlamına gelmez.

Kuvvetin doğrultusu dönme noktasından geçiyorsa da tork sıfırdır. Bu durumda kuvvetin etki çizgisi dönme noktasını kestiği için $d_\perp=0$ olur. Bu sınır durum, özellikle şekilli sorularda kuvvetin uygulandığı noktanın eksenden uzak görünmesi nedeniyle gözden kaçabilir.

Açı, kuvvet vektörü ile konum doğrultusu arasındaki açı olmalıdır. Kuvvetin yatayla veya düşeyle yaptığı açı doğrudan formüle yazılmaz; önce bu açının $r$ doğrultusuyla ilişkisi kurulmalıdır. Şekilde verilen açı başka bir eksene göre ölçülmüşse gerekli geometrik dönüşüm yapılmadan $\sin(\theta)$ kullanılması yanlış sonuç verebilir.

Saat yönü, saat yönünün tersi ve net tork

Tork vektörel bir büyüklüktür; lise düzeyindeki düzlem sorularında yön çoğunlukla saat yönü ve saat yönünün tersi olarak izlenir. Çözümün başında bir işaret kuralı seçmek gerekir. Örneğin saat yönünün tersini pozitif, saat yönünü negatif kabul edebilirsiniz. Ters seçim de mümkündür; önemli olan tüm torklarda aynı kuralı korumaktır.

Birden fazla kuvvet varsa her kuvvetin seçilen dönme noktasına göre torku ayrı hesaplanır. Aynı yöndeki torklar toplanır, zıt yöndekiler işaretleriyle çıkarılır:

$\tau_{net}=\tau_1+\tau_2+\tau_3+\cdots$.

Net torkun sıfır olması, seçilen nokta etrafında net dönme eğilimi bulunmadığını gösterir. Bir cisim dengede ve hareketsiz kabul ediliyorsa yalnızca net torkun değil, kuvvetlerin bileşkesinin de değerlendirilmesi gerekir. Bu yüzden bir denge sorusunda $\sum\tau=0$ koşulu önemli olsa da, verilen düzenek için kuvvet dengesi koşulunun da sağlanıp sağlanmadığı gözden kaçırılmamalıdır.

Dönme noktası soruda sabit bir mafsal olarak verilmişse torklar genellikle bu noktaya göre alınır. Denge problemlerinde ise uygun bir referans noktası seçmek işlemi kısaltabilir. Özellikle bilinmeyen kuvvetin uygulandığı nokta seçilirse, o kuvvetin dönme noktasına göre torku sıfır olabilir; fakat bu seçim, diğer denge koşullarını ortadan kaldırmaz.

Sabitlenmiş çubukta tork hesabının çözüm sırası

Çubuk veya levha sorularında güvenilir çözüm için şu sırayı izleyin:

1. Dönme noktası ya da ekseni belirleyin. Sabitlenen uç, çoğu soruda referans noktasıdır.
2. Her kuvvetin uygulama noktasını işaretleyin ve bu noktanın dönme noktasına olan uzaklığını bulun.
3. Kullanacağınız uzaklığın $r$ mi yoksa dik kuvvet kolu $d_\perp$ mi olduğunu ayırın.
4. Kuvvet ile konum doğrultusu arasındaki açıyı belirleyin.
5. Kuvvetin tork oluşturmayan bileşenini ayırın. Paralel bileşen dönmeye katkı yapmaz; dik bileşen katkı yapar.
6. Her torkun saat yönünü veya saat yönünün tersini belirleyip işaret verin.
7. İstenen büyüklüğe göre tek torku, net torku veya denge eşitliğini yazın.

Çubuğun homojen olup olmaması, yalnızca çubuğun ağırlığının hesaba katıldığı durumlarda önem kazanır. Homojen bir çubuğun ağırlığının etkisi kütle merkezinden uygulanmış kabul edilir; ancak mevcut örnekte çubuğun ağırlığına ilişkin bir değer verilmediği için yalnızca dışarıdan uygulanan kuvvetin torku hesaplanır. Bir soruda ağırlık veya başka kuvvetler verilmişse bunların torkları da aynı yöntemle eklenmelidir.

Çözümlü örnek: 30 derecelik kuvvetin çubuk üzerindeki torku

Verilenler: Sol ucundan sabitlenmiş, uzunluğu $2\ \text{m}$ olan bir çubuğun sağ ucuna, çubukla $30^\circ$ açı yapan yukarı yönlü $20\ \text{N}$ büyüklüğünde kuvvet uygulanıyor. $\sin(30^\circ)=0{,}5$.

Çözüm adımları:

1. Dönme noktası: Çubuk sol ucundan sabit olduğundan referans dönme noktası sol uçtur.

2. Uygulama uzaklığı: Kuvvet sağ uca uygulandığı için dönme noktasından uygulama noktasına olan uzaklık $r=2\ \text{m}$ olur.

3. Açı: Verilen $30^\circ$, kuvvet ile çubuk doğrultusu arasındaki açıdır. Bu nedenle doğrudan $\tau=F\cdot r\cdot\sin(\theta)$ formülünde kullanılabilir.

4. Hesaplama:

$\tau=20\cdot2\cdot\sin(30^\circ)$

$\tau=20\cdot2\cdot0{,}5=20\ \text{N·m}$.

5. Yön: Kuvvet çubuğun sağ ucunu yukarı doğru ittiği için çubuk sol uç çevresinde saat yönünün tersine dönme eğilimindedir. Saat yönünün tersini pozitif seçersek sonuç $+20\ \text{N·m}$, yalnızca büyüklük istenirse sonuç $20\ \text{N·m}$ yazılır.

Aynı sonuç dik bileşen yöntemiyle de bulunabilir. Kuvvetin çubuğa dik bileşeni $F_\perp=20\cdot\sin(30^\circ)=10\ \text{N}$ olur. Ardından $\tau=F_\perp\cdot r=10\cdot2=20\ \text{N·m}$ bulunur. Bu ikinci yol, hangi kuvvet bileşeninin dönmeye katkı verdiğini görmeyi kolaylaştırır.

Çözümlü örnek: Aynı kuvvet için maksimum torku bulma

Verilenler: Bir önceki düzende kuvvetin büyüklüğü $20\ \text{N}$, dönme noktasından uygulama noktasına uzaklık $2\ \text{m}$ olsun. Kuvvetin torkunun en büyük olması isteniyor.

Çözüm adımları:

1. Tork formülü $\tau=F\cdot r\cdot\sin(\theta)$ şeklindedir.

2. $F$ ve $r$ sabit olduğuna göre torku değiştiren unsur $\sin(\theta)$ değeridir.

3. Sinüs değeri $\theta=90^\circ$ durumunda $1$ olur. Bu, kuvvetin çubuğa dik uygulanması demektir.

4. Değerleri yerine yazalım:

$\tau_{max}=20\cdot2\cdot1=40\ \text{N·m}$.

Sonuç: Aynı $20\ \text{N}$ kuvveti aynı $2\ \text{m}$ uzaklıktan uygularken kuvvet çubuğa dik hale getirilirse tork büyüklüğü $40\ \text{N·m}$ olur. Önceki $30^\circ$ durumundaki $20\ \text{N·m}$ değerinden daha büyük olmasının nedeni, kuvvetin yalnızca $10\ \text{N}$ olan dik bileşeninin dönmeye katkı sağlamasıdır.

Torku kapı kolunda görmenin en net yolu

Tek bir günlük hayat örneği olarak menteşeli bir kapıyı düşünün. Kapı kolu menteşeden uzakta olduğundan, kolun ucuna uygulanan kuvvetin etki çizgisi menteşeye göre daha büyük bir dik uzaklık oluşturur. Aynı yönde ve benzer büyüklükte bir kuvveti menteşeye yakın bir noktaya uygularsanız $d_\perp$ küçülür ve tork azalır; kolun ucuna uygularsanız $d_\perp$ artar ve aynı kuvvetle daha büyük döndürme etkisi elde edilir.

Kuvvetin kapı düzlemine dik doğrultuda uygulanması, dönmeye katkı yapan bileşeni artırır. Kapı düzleminde menteşeye doğru, yani etki çizgisi menteşeden geçecek şekilde itmek ise torku azaltır veya sıfırlar. Bu örnek, torkun yalnızca kuvvet büyüklüğüne değil, uygulama uzaklığına ve kuvvet doğrultusuna da bağlı olduğunu somut biçimde gösterir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan kavramlar

• Doğrudan uzaklığı dik kuvvet kolu sanmak: Uygulama noktası ile dönme noktası arasındaki $r$ uzaklığı, kuvvet doğrultusuna dik değilse $F\cdot r$ yazılamaz. Bu durumda $\sin(\theta)$ kullanılmalı veya kuvvetin etki çizgisine dik uzaklık bulunmalıdır.

• Yanlış açıyı kullanmak: Formüldeki açı, kuvvet ile konum doğrultusu arasındaki açıdır. Kuvvetin yatayla yaptığı açı şekil üzerinde verilmiş olsa bile bu açı doğrudan tork formülüne yazılmayabilir.

• Kuvvetin tamamını torka katmak: $F$ kuvvetinin yalnızca $F\sin(\theta)$ olan dik bileşeni dönmeye katkı yapar. Paralel bileşen tork oluşturmaz.

• Dönme noktasından geçen kuvveti hesaba katmak: Kuvvetin etki çizgisi dönme noktasından geçiyorsa $d_\perp=0$ ve tork da sıfırdır.

• İşaretleri karıştırmak: Saat yönündeki ve saat yönünün tersindeki torklar büyüklük olarak toplanmaz; seçilen işaret kuralına göre zıt işaretlerle yazılır.

• Net tork ile tek kuvvetin torkunu ayırmamak: Bir kuvvetin torku tek bir etkiyi, net tork ise bütün kuvvetlerin yönlü toplamını ifade eder.

• Dengeyi yalnızca net torkla açıklamak: Net torkun sıfır olması dönme eğiliminin olmadığını gösterir. Cismin tam dengesi için uygun durumda kuvvetlerin bileşkesinin de değerlendirilmesi gerekir.

• Birim dönüşümünü atlamak: Formülde kuvvet Newton, uzaklık metre cinsinden kullanılmalıdır. Böylece sonuç N·m olur. Santimetre verilen bir uzaklık metreye çevrilmeden kullanılırsa sayısal sonuç hatalı çıkar.