Tork ve Denge: AYT Fizik İçin Formüller ve Çözümlü Sorular

Kuvvet kolu neden kuvvet kadar önemlidir?

Bir kuvvetin bir nokta etrafındaki tork büyüklüğü, kuvvetin büyüklüğü ile kuvvet doğrultusunun dönme merkezine olan dik uzaklığının çarpımıdır:

$\tau=F\cdot d$

Buradaki $d$, kuvvetin uygulandığı noktanın merkeze olan doğrudan uzaklığı değil, kuvvetin etki çizgisine merkezden indirilen dik uzaklıktır. Bu ayrım, tork sorularındaki en önemli ara kavramlardan biridir.

Daha genel ifade, kuvvet ile konum vektörü arasındaki açı $\theta$ kullanılarak şöyle yazılır:

$\tau=rF\sin\theta$

Burada $r$, dönme merkezinden kuvvetin uygulandığı noktaya çizilen konum vektörünün uzunluğudur. $\theta=90^\circ$ olduğunda $\sin\theta=1$ olur ve tork $rF$ değerine ulaşır. Kuvvet doğrultusu dönme merkezinden geçiyorsa $\theta=0^\circ$ veya $180^\circ$ olur; bu durumda $\sin\theta=0$ ve tork sıfırdır.

Sonuç olarak, kuvvetin kendisi sıfır olmasa bile tork sıfır olabilir. Bunun nedeni kuvvetin dönme merkezinden geçmesi veya kuvvet kolunun sıfır olmasıdır. Torkun SI birimi N·m'dir. N·m ifadesi enerji birimi olan joule ile boyutsal olarak aynı görünse de tork ve enerji aynı fiziksel büyüklük değildir; torkta dönme etkisi ve yön bilgisi bulunur.

Bir kuvvetin döndürme yönü nasıl belirlenir?

Düzlemdeki tork sorularında genellikle saat yönü ve saat yönünün tersi yönler için işaret seçilir. Örneğin saat yönünün tersini pozitif, saat yönünü negatif kabul edebilirsiniz. Bunun tersi de seçilebilir; önemli olan bütün torklarda aynı işaret kuralını korumaktır.

Bir kuvvet seçilen noktaya göre cismi saat yönünün tersine döndürmeye çalışıyorsa pozitif, saat yönünde döndürmeye çalışıyorsa negatif yazılır. Böylece dönme dengesi:

$\sum\tau=0$

şeklinde cebirsel olarak ifade edilir. Bu denklem, bir taraftaki torkların diğer taraftaki torklarla dengelenmesi anlamına gelir.

Üç boyutlu düşünmede torkun yönü sağ el kuralıyla bulunur. Parmaklar konum vektöründen kuvvet yönüne doğru kıvrıldığında başparmak tork vektörünü gösterir. Lise düzeyindeki çubuk, tahterevalli ve kaldıraç sorularında ise saat yönü-saat yönünün tersi işaretleri çoğu zaman yeterlidir.

Dönme merkezini seçerken pratik bir avantaj vardır: Bilinmeyen bir kuvvetin uygulama noktası seçilen merkezse, o kuvvetin torku sıfır olur. Böylece bilinmeyen kuvvet, tork denkleminde görünmeyebilir. Ancak bu kuvvet, öteleme dengesi denkleminde yine hesaba katılmalıdır.

Dengeyi kurmak: yalnızca $\sum F=0$ yetmez

Bir cismin dengede kabul edilmesi için iki koşul birlikte değerlendirilir:

1. Öteleme dengesi: $\sum \vec F=0$
2. Dönme dengesi: $\sum\tau=0$

Öteleme dengesi, cismin ivmelenmemesini sağlar. Kuvvetlerin toplamı sıfırsa cisim duruyor olabilir veya sabit hızla hareket ediyor olabilir. Bu nedenle $\sum F=0$ tek başına cismin kesin olarak durduğunu göstermez.

Dönme dengesi ise cismin açısal ivmelenmemesini sağlar. Net tork sıfır değilse, kuvvet toplamı sıfır olsa bile cisim dönmeye başlayabilir. Örneğin paralel ve zıt yönlü, farklı etki çizgilerine sahip iki kuvvet bir kuvvet çifti oluşturabilir. Bu durumda net kuvvet sıfır olabilir; fakat torklar birbirini götürmüyorsa dönme etkisi sürer.

Statik denge için cisim durgun olmalı ve hem net kuvvet hem de net tork sıfır olmalıdır: $\sum \vec F=0$ ve $\sum \tau=0$. Cisim o anda durgun olsa bile öteleme veya açısal ivmeye sahip olabilir; durgunluk zaman boyunca korunuyorsa bu koşullar sağlanır. Kaynaklarda bu durum, cismin ilerlememesi ve dönmemesi şeklinde ifade edilir. Sabit hızla öteleme yapan bir cisimde net kuvvet sıfır olabilir; fakat bu durum statik dengeyle aynı değildir. Sınav sorusunda 'dengede' ifadesinin cismin durgun mu, yoksa sabit hızla mı hareket ettiğini belirleyebilmek için verilen ek bilgiler okunmalıdır.

Ağırlık, zemin tepkisi ve destek noktası birlikte nasıl incelenir?

Yatay bir zeminde duran bir cisme aşağı doğru ağırlık kuvveti, zeminden de çoğunlukla yukarı doğru normal kuvvet etki eder. Cisim düşey doğrultuda ivmelenmiyorsa düşey kuvvetler dengelenir:

$N-G=0$

Buradan $N=G$ sonucu, yalnızca ek düşey kuvvet bulunmayan ve cismin düşey ivmesinin sıfır olduğu uygun durumda geçerlidir. İp gerilmesi, dışarıdan uygulanan düşey kuvvet veya eğik kuvvet varsa normal kuvvetin büyüklüğü doğrudan ağırlığa eşit olmak zorunda değildir.

Kaynaklardan birindeki 60 N'luk örnek, zeminin cisme uyguladığı kuvvet ile cismin zemine uyguladığı kuvvetin yönlerinin zıt olduğunu hatırlatır. Newton'un üçüncü yasasına göre cisim zemine aşağı yönlü bir kuvvet uyguluyorsa zemin de cisme eşit büyüklükte yukarı yönlü kuvvet uygular. Ancak bu kuvvet çifti farklı cisimlere etki eder. Bu nedenle 'net kuvvet' hesabında birbirini götüren kuvvetler olarak yazılmaz; biri cisme, diğeri zemine aittir.

Çubuk ve levha sorularında destek kuvvetlerinin toplamı, ağırlık ve diğer dış kuvvetlerle birlikte incelenir. Destek kuvvetlerinin doğrultusu veya dağılımı soruda verilmemişse, yalnızca genel denge koşulları yazılabilir; sayısal sonuç için şekil ve bağlantı bilgileri gerekir.

Tahterevalli ve kaldıraçlarda denge ilişkisi

Bir tahterevallide dönme noktası destek noktasıdır. Noktasal kabul edilen bir ağırlık $G$ destekten $d$ uzaklıktaysa tork büyüklüğü:

$\tau=Gd$

Kütleler üzerinden yazılırsa $G=mg$ olduğundan iki tarafın dengesi:

$m_1gd_1=m_2gd_2$

şeklindedir. Aynı yerçekimi ivmesinde $g$ sadeleşir:

$m_1d_1=m_2d_2$

Bu eşitlik, ağır olan cismin daha kısa kola, hafif olan cismin daha uzun kola yerleşmesi gerektiğini gösterir. Burada kullanılan uzaklık, destek noktasına olan dik uzaklıktır. Kuvvetler dik değilse doğrudan kol uzunluğunu çarpmak yerine $rF\sin\theta$ kullanılmalıdır.

Çubuğun kendi ağırlığı ihmal edilmiyorsa ağırlık, çubuğun kütle merkezinden uygulanır. Düzgün ve homojen bir çubuk için kütle merkezi geometrik merkezdedir; fakat bu bilgi, çubuğun homojen olduğu belirtilmişse kullanılmalıdır. Çubuğun ağırlığı veya kütle dağılımı verilmemişse onu kendiliğinden merkeze yerleştirmek hatalı olabilir.

Çözümlü örnekler: verilerden denge denklemine

Örnek 1 — Tahterevallide bilinmeyen uzaklık

Verilenler: Sol tarafta $m_1=30\,kg$ kütleli çocuk destekten $d_1=2\,m$ uzakta oturuyor. Sağ tarafta $m_2=20\,kg$ kütleli çocuk var. Sistem dengede olduğuna göre sağdaki çocuğun destekten uzaklığı $d_2$ nedir? Çocukların ağırlıkları dışında kuvvet yok ve çubuk ağırlıksız kabul ediliyor.

1. Destek noktasına göre tork dengesi yazılır: $m_1gd_1=m_2gd_2$

2. Yerçekimi ivmesi iki tarafta da bulunduğu için sadeleştirilir: $30\cdot2=20\cdot d_2$

3. Bilinmeyen uzaklık çözülür: $60=20d_2$ $d_2=3\,m$

Sonuç: 20 kg kütleli çocuk destekten 3 m uzakta oturmalıdır. Daha hafif çocuk daha uzakta bulunarak daha küçük ağırlığını daha büyük kuvvet koluyla telafi eder.

Örnek 2 — Eğik kuvvetin torku

Verilenler: Bir çubuğun dönme merkezinden kuvvetin uygulandığı noktaya uzaklık $r=0{,}50\,m$, kuvvetin büyüklüğü $F=40\,N$ ve konum vektörü ile kuvvet arasındaki açı $30^\circ$ olsun. Kuvvetin tork büyüklüğü isteniyor.

1. Genel formül seçilir: $\tau=rF\sin\theta$

2. Veriler yerleştirilir: $\tau=0{,}50\cdot40\cdot\sin30^\circ$

3. $\sin30^\circ=0{,}5$ olduğundan: $\tau=0{,}50\cdot40\cdot0{,}5=10\,N\cdot m$

Sonuç: Tork büyüklüğü $10\,N\cdot m$'dir. Kuvvetin yönü verilmediği için saat yönünde mi, saat yönünün tersinde mi olduğu ayrıca söylenemez; bu nedenle yalnızca büyüklük hesaplanmıştır.

Kaynak 1'de $T_1$ ve $T_2$ gerilmelerinin $G$ cinsinden sorulduğu bir tork düzeni yer almaktadır. Ancak verilen kaynak özeti şeklin geometrisini ve kuvvetlerin uygulama noktalarını göstermediği için bu gerilmelerin sayısal oranı güvenilir biçimde yeniden çıkarılamaz. Böyle bir soruda önce herhangi bir bilinmeyen gerilmenin uygulama noktasını dönme merkezi seçmek, ardından kalan torkları eşitlemek gerekir.