Sayı Nedir? Sayı Kümeleri, Basamak Değeri ve Tabanlar

Rakam, sayı ve sayı değeri aynı şey değildir

Rakam, sayıları yazmak için kullanılan sembollerdir. Onluk sayı sisteminde kullanılan rakamlar 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9'dur. Sayı, matematiksel bir nesne veya değerdir; rakamlar ise sayıların gösteriminde kullanılan sembollerdir. Sayılar sonlu ya da sonsuz ondalık gösterimlerle temsil edilebilir. Örneğin 7 bir rakam olarak da kullanılabilir ve aynı zamanda tek basamaklı bir sayıdır; 482 ise üç rakamın oluşturduğu bir sayıdır.

Bir rakamın sayı içindeki yeri, basamak değerini değiştirir; rakamın kendi değeri değişmez. 505 sayısında soldaki 5 yüzler basamağında, sağdaki 5 birler basamağındadır. Bu iki rakam aynı görünse de basamak değerleri farklıdır: soldaki 5'in değeri 500, sağdaki 5'in değeri 5'tir. Bu yüzden 505 sayısı, 5 yüzlük, 0 onluk ve 5 birlik olarak okunabilir.

Genel olarak basamak değeri, rakamın bulunduğu basamağın değeriyle rakamın çarpımıdır. 3 724 sayısında 3'ün basamak değeri 3 × 1000 = 3000, 7'nin basamak değeri 7 × 100 = 700, 2'nin basamak değeri 2 × 10 = 20 ve 4'ün basamak değeri 4'tür. Sayının çözümlenmiş biçimi 3 × 1000 + 7 × 100 + 2 × 10 + 4 şeklindedir.

Sayı ile etiket veya kod da karıştırılmamalıdır. Bir otobüsün üzerinde yazan 12 ifadesi, o otobüsün hat numarasıysa miktar bildirmeyebilir; buna karşılık 12 yolcu ifadesindeki 12, sayma miktarını gösterir. Aynı sembol, kullanıldığı bağlama göre matematiksel değer veya kimliklendirme işareti olabilir.

Doğal sayılardan gerçek sayılara uzanan küme zinciri

Sayı kümeleri, sayıların hangi özellikleri taşıdığını düzenlemek için kullanılır. MEB kaynaklarında kullanılan gösterime uygun olarak doğal sayılar 0, 1, 2, 3, ... biçiminde ele alınır. Doğal sayılar; nesne sayma, sıra belirleme ve negatif olmayan tam miktarları ifade etmede kullanılır. Bu tanımda 0 doğal sayılara dahildir; ancak bazı kaynaklarda farklı bir başlangıç gösterimiyle karşılaşılabileceği için soru kökündeki tanıma dikkat edilmelidir.

Tam sayılar, doğal sayılara negatif sayıların eklenmesiyle oluşur: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... . Bir sayı negatifse doğal sayı değildir; fakat tam sayı olabilir. Örneğin -8 tam sayıdır, doğal sayı değildir. 0 ise hem doğal sayı hem tam sayıdır.

Rasyonel sayılar, iki tam sayının bölümü biçiminde yazılabilen sayılardır. Genel gösterim a/b şeklindedir; burada a ve b tam sayı, b ise 0'dan farklı olmalıdır. 3/4, -5/2 ve 7 = 7/1 rasyonel sayılara örnektir. Sonlu ondalık gösterimler ve devirli ondalık gösterimler de rasyoneldir. Örneğin 0,25 = 25/100 = 1/4'tür. Bölme işleminde paydanın 0 olması tanıma izin vermediğinden 4/0 rasyonel sayı değildir.

İrrasyonel sayılar, iki tam sayının oranı biçiminde yazılamayan gerçek sayılardır. √2 ve π buna örnektir. Bu sayıların ondalık gösterimleri sonsuzdur ve belirli bir basamakta sonlanmaz; ayrıca devirli bir tekrar düzeni oluşturmaz. Ancak bir köklü ifadenin görünüşüne bakarak hemen irrasyonel denemez. Örneğin √9 = 3 olduğundan rasyoneldir; √2 ise irrasyoneldir.

Gerçek sayılar, rasyonel ve irrasyonel sayıların tamamını kapsar. Sayıların kümeler arasındaki ilişkisi özetle şöyledir: doğal sayılar tam sayıların, tam sayılar rasyonel sayıların, rasyonel sayılar da gerçek sayıların içindedir. İrrasyonel sayılar gerçek sayıların içinde bulunur; fakat rasyonel değildir. Bu nedenle her doğal sayı gerçek sayıdır, ancak her gerçek sayı doğal sayı değildir.

Bir sayının kümesini gösteriminden nasıl belirleriz?

Sınıflandırma yaparken önce sayının işaretine ve biçimine bakılır, ardından daha dar kümeler test edilir. Sayı 0 veya pozitif bir tam sayıysa doğal sayı olma ihtimali vardır. Negatif tam sayılar doğal değil, tam sayıdır. Kesir biçimindeki ifadelerde pay ve paydanın tam sayı olup olmadığı ve paydanın 0 olup olmadığı kontrol edilir.

Örneğin -6/3 ifadesi görünüşte kesirli olsa da -6/3 = -2 olduğundan tam sayıdır ve dolayısıyla rasyoneldir. 0,125 de rasyoneldir; çünkü 125/1000 biçiminde yazılabilir. Buna karşılık √5, pay ve paydası tam sayı olan bir kesir biçiminde yazılamadığından irrasyoneldir ve gerçek sayıdır.

Bir sayının bir kümeye ait olması, başka kümelere ait olamayacağı anlamına gelmez. 4 sayısı aynı anda doğal sayı, tam sayı, rasyonel sayı ve gerçek sayıdır. Sorularda 'hangisi değildir?' denildiğinde yalnızca en belirgin özelliğe değil, kümelerin kapsama ilişkisine bakılmalıdır. Örneğin 4, irrasyonel değildir; fakat rasyonel olmasının nedeni 4 = 4/1 biçiminde yazılabilmesidir.

Karşılaştırma yapılırken sayı doğrusundan yararlanılır. Gerçek sayılar sayı doğrusu üzerinde gösterilebilir. Sıfırın sağındaki sayılar pozitif, solundaki sayılar negatiftir. Negatif sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı daha büyüktür: -2 > -5. Bu karar, sayı doğrusunda sağda bulunan değerin daha büyük olması kuralına dayanır; yalnızca mutlak değerleri karşılaştırmak yeterli değildir.

Onluk sistemin arkasındaki basamak mantığı

Günlük matematikte kullanılan sistem onluk sayı sistemidir. Bu sistemde her basamak, sağdan sola doğru 10'un artan kuvvetleriyle ilişkilidir. 6 308 sayısında 6 × 10^3, 3 × 10^2, 0 × 10^1 ve 8 × 10^0 katkıları bulunur. Böylece 6 308 = 6000 + 300 + 0 + 8 olur.

Ondalık kısmı olan sayılarda basamaklar virgülün sağına doğru 10'un negatif kuvvetleriyle ilişkilidir. 4,27 sayısı 4 birlik, 2 onda bir ve 7 yüzde bir içerir; yani 4,27 = 4 + 2/10 + 7/100'dür. Bu çözümleme, virgülden sonraki basamakların neden küçülen değerler taşıdığını açıklar.

Bir sayının basamak sayısı ile rakam sayısı aynı şeydir; fakat basamak değeri rakamın konumuna bağlıdır. 2 020 sayısındaki iki adet 2'nin rakam değeri aynı, basamak değerleri farklıdır. Soldaki 2 binler basamağında 2000, sağdaki 2 onlar basamağında 20 değerindedir.

Farklı tabanlarda yazılan sayılarda basamak değerleri tabanın kuvvetleriyle belirlenir. Kaynaklarda verilen yönteme göre bir tabandan başka bir tabana geçişte sayı önce 10 tabanına çevrilir, ardından hedef tabana aktarılır. Örneğin ikilik sistemde yalnızca 0 ve 1 rakamları kullanılır; 1011 gösterimi, 1 × 2^3 + 0 × 2^2 + 1 × 2^1 + 1 × 2^0 = 11 olduğundan onluk sistemde 11'e karşılık gelir.

Çözümlü örnekler: tür belirleme ve taban dönüşümü

Örnek 1 — Verilenler: Aşağıdaki sayıların en dar uygun sayı kümesini belirleyelim: 0, -7, 3/5, √16, √3.

Çözüm adımları:

1. 0, MEB kaynaklarında kullanılan gösterime göre doğal sayıdır. Aynı zamanda tam, rasyonel ve gerçek sayıdır. En dar küme: doğal sayılar.
2. -7 negatif bir tam sayıdır. Doğal sayı değildir; iki tam sayının oranı olarak -7/1 yazılabildiği için rasyoneldir. En dar küme: tam sayılar.
3. 3/5, iki tam sayının oranıdır ve payda 0 değildir. En dar küme: rasyonel sayılar.
4. √16 = 4'tür. Kök işareti burada irrasyonellik göstermemektedir. En dar küme: doğal sayılar.
5. √3, tam sayı oranı biçiminde yazılamayan bir sayıdır. En dar küme: irrasyonel sayılar.

Sonuç: 0 → doğal, -7 → tam, 3/5 → rasyonel, √16 → doğal, √3 → irrasyonel.

Örnek 2 — Verilenler: 101101₂ sayısını onluk tabana çevirelim.

Çözüm adımları:

1. Sağdan sola basamakları 2'nin kuvvetleriyle eşleştiririz: 2^5, 2^4, 2^3, 2^2, 2^1, 2^0.
2. Her basamağı kendi kuvvetiyle çarparız: 1 × 2^5 + 0 × 2^4 + 1 × 2^3 + 1 × 2^2 + 0 × 2^1 + 1 × 2^0.
3. Değerleri hesaplarız: 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1.
4. Toplamı buluruz: 45.

Sonuç: 101101₂ = 45₁₀. Buradaki alt indisler, gösterimin hangi tabanda yazıldığını belirtir. Alt indis verilmezse okul matematiğinde çoğunlukla onluk taban varsayılır; fakat soru farklı bir taban belirtiyorsa bu bilgi mutlaka kullanılmalıdır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Sıfırı doğal sayı kabul etmemek: Bu rehberde ve verilen MEB odaklı içerikte doğal sayılar 0'dan başlatılmıştır. Farklı bir kaynak tanım verirse sorunun kendi tanımı esas alınmalıdır.

2. Her köklü sayıyı irrasyonel sanmak: √25 = 5 ve √(1/4) = 1/2 rasyoneldir. Kökün içindeki sayının uygun bir tam kare olup olmadığı ve sonucun hangi biçimde yazılabildiği kontrol edilmelidir.

3. Kesir gördüğünde sayıyı otomatik olarak rasyonel sanmamak: Paydanın 0 olmaması gerekir. Ayrıca -8/4 gibi bir kesir sadeleştiğinde tam sayıya dönüşebilir; bu, onun rasyonel olmasını engellemez.

4. Negatif sayıları doğal sayılara katmak: -1, -2 ve -10 tam sayıdır; doğal sayı değildir. Negatiflik, sayının sayı doğrusunda sıfırın solunda bulunduğunu gösterir.

5. Mutlak değeri büyüklükle karıştırmak: |-7| = 7 olsa da -7, 7'den küçüktür. Mutlak değer sayının sıfıra uzaklığını verir; sayının kendisiyle aynı karşılaştırma sonucu vermeyebilir.

6. Rakam ile basamak değerini karıştırmak: 4 040 sayısındaki iki 4 aynı rakamdır, fakat biri 4000, diğeri 40 değerindedir.

7. Taban dönüşümünde doğrudan rakamları taşımak: 1011₂, 1011₁₀ değildir. Önce basamakları tabanın kuvvetleriyle çarpmak gerekir. Ayrıca bir tabanda kullanılabilecek rakamlar, tabandan küçük olmalıdır; ikilik tabanda 2 rakamı kullanılamaz.

8. Rasyonel ve irrasyonel sayıların gerçek sayı olmadığını düşünmek: Her iki küme de gerçek sayıların alt kümeleridir. Ayrım, sayının iki tam sayının oranı biçiminde yazılıp yazılamamasıdır.