İki Boyutta Hareket: Yatay Atış ve Eğik Atış Nasıl Çözülür?

Hız vektörünü x ve y bileşenlerine ayırma

İki boyutlu bir hareketi tanımlamak için önce x eksenini yatay, y eksenini düşey seçin. Cismin konumu $x(t)$ ve $y(t)$ ile; hızı ise $v_x(t)$ ve $v_y(t)$ bileşenleriyle ifade edilir.

Bir cisim başlangıçta $v_0$ büyüklüğündeki hızla yataya $\theta$ açısıyla atılıyorsa başlangıç hızının bileşenleri şöyledir:

• $v_{0x}=v_0\\cos\theta$
• $v_{0y}=v_0\\sin\theta$

Bu ayırma, hızın iki ayrı hızmış gibi iki farklı cisme bölündüğü anlamına gelmez. Tek bir hız vektörünün koordinat eksenlerindeki izdüşümleridir. Her iki bileşenin aynı $t$ süresinde aldığı değerler birleştirilerek cismin gerçek konumu ve hızı bulunur.

Hızın büyüklüğü bileşenlerden geri hesaplanabilir: $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Bu büyüklük, cismin o andaki toplam süratini verir; yalnızca $v_x$ veya yalnızca $v_y$ cismin toplam hızı değildir.

Başlangıç yüksekliği sıfır seçilirse düşey konum için başlangıç noktası $y_0=0$ alınır. Cisim yerden değil de $h$ yüksekliğinden başlıyorsa, düşey konum denklemi buna göre değiştirilmelidir. İşaret seçimi de önemlidir: y ekseni yukarı yönlü seçilirse yerçekimi ivmesi $a_y=-g$ olur.

Yatay atışta yere düşme süresini yalnızca düşey hareket belirler

Yatay atışta cisme başlangıçta yalnızca yatay hız verilir. Bu nedenle $v_{0y}=0$, $v_{0x}=v_0$ olur. Hava direnci ihmal edildiğinde yatay yönde net ivme bulunmadığı için $v_x$ sabittir. Düşey yönde ise yerçekimi etkisi vardır ve düşey hız zamanla değişir.

Cisim $h$ yüksekliğinden yatay atılıyorsa, yukarı yönü pozitif kabul edilen bir koordinat sisteminde:

• $x=v_0t$
• $y=h-\frac{1}{2}gt^2$
• $v_x=v_0$
• $v_y=-gt$

Cisim yere ulaştığında $y=0$ yazılır. Böylece $0=h-\frac{1}{2}gt^2$ ve buradan $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ elde edilir. Bu sonuç, yere düşme süresinin yatay hızdan bağımsız olduğunu gösterir; aynı yükseklikten bırakılan ve yatay fırlatılan cisimlerin, hava direnci ihmal edildiğinde düşey başlangıç koşulları aynıysa düşme süreleri aynıdır.

Yatay menzil, yani cismin yatayda aldığı uzaklık, yatay hız ile uçuş süresinin çarpımıdır: $R=v_0\sqrt{\frac{2h}{g}}$. Bu bağıntı yalnızca başlangıç ve bitiş noktalarının aynı düşey seviyede olmadığı, yatay atış yapılan ve hava direncinin ihmal edildiği bu model için kullanılmalıdır.

Eğik atışta en yüksek nokta ve uçuş süresi

Eğik atışta başlangıç hızının hem yatay hem düşey bileşeni vardır. Hava direnci yok sayıldığında yatay bileşen sabit kalır; düşey bileşen ise yerçekimi nedeniyle azalır, en yüksek noktada sıfır olur ve daha sonra aşağı yönlü hale gelir.

Başlangıç noktası $y_0$ olan eğik atış için temel denklemler:

• $x=v_0\\cos\theta \cdot t$
• $y=y_0+v_0\\sin\theta \cdot t-\frac{1}{2}gt^2$
• $v_x=v_0\\cos\theta$
• $v_y=v_0\\sin\theta-gt$

En yüksek noktada düşey hız $v_y=0$ olduğundan bu noktaya çıkma süresi $t_{\text{yüksek}}=\frac{v_0\\sin\theta}{g}$ olur. Bu anda cismin hızı sıfır değildir; yalnızca düşey bileşen sıfırdır. Yatay hız $v_x=v_0\\cos\theta$ olmaya devam eder.

Cisim atıldığı ve düştüğü seviyeler aynıysa toplam uçuş süresi $T=\frac{2v_0\\sin\theta}{g}$, yatay menzil ise $R=\frac{v_0^2\\sin(2\theta)}{g}$ biçimindedir. Bu iki bağıntı, başlangıç ve bitiş yüksekliklerinin eşit olduğu özel durumda geçerlidir. Farklı yüksekliklerde, uçuş süresi doğrudan bu formülle değil, düşey konum denklemiyle bulunmalıdır.

İzlenen yolun parabol biçiminde olması da bu bileşenlerden çıkar. Zamanı denklemlerden yok ederek $y$ ile $x$ arasında ikinci dereceden bir bağıntı elde edilir. Ancak gerçek hava hareketinde hava direnci hesaba katılırsa yörünge ve menzil bu ideal modelden sapar.

Çözümlü örnekler: aynı anda iki ekseni hesaplamak

Örnek 1 — Yatay atış:

Verilenler: Bir cisim $h=20$ m yüksekliğinden yatay olarak $v_0=15$ m/s hızla atılıyor. $g=10$ m/s² ve hava direnci ihmal ediliyor.

Çözüm adımları:

1. Yatay ve düşey başlangıç hızlarını yazın. Yatay atış olduğundan $v_{0x}=15$ m/s ve $v_{0y}=0$.
2. Yere düşme süresini düşey hareketten bulun: $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2\cdot20}{10}}=\sqrt{4}=2$ s.
3. Bu sürede yatay uzaklığı hesaplayın: $R=v_{0x}t=15\cdot2=30$ m.
4. Çarpma anındaki hız bileşenlerini belirleyin: $v_x=15$ m/s, $v_y=-gt=-10\cdot2=-20$ m/s.
5. Çarpma hızının büyüklüğünü bulun: $v=\sqrt{15^2+(-20)^2}=\sqrt{625}=25$ m/s.

Sonuç: Cisim 2 s sonra yere ulaşır, yatayda 30 m ilerler ve çarpma anındaki hızının büyüklüğü 25 m/s olur. Eksi işareti, düşey hızın aşağı yönlü olduğunu gösterir; hızın büyüklüğü ise 25 m/s'dir.

Örnek 2 — Eğik atış:

Verilenler: Bir cisim yerden $v_0=20$ m/s hızla yatayla $30^\circ$ açı yapacak biçimde atılıyor. Cisim yine aynı seviyeye düşüyor, $g=10$ m/s² ve hava direnci ihmal ediliyor. $\\sin30^\circ=0{,}5$, $\\cos30^\circ\approx0{,}866$ alınsın.

Çözüm adımları:

1. Hız bileşenlerini ayırın: $v_{0x}=20\\cos30^\circ\approx17{,}32$ m/s ve $v_{0y}=20\\sin30^\circ=10$ m/s.
2. En yüksek noktaya çıkma süresini hesaplayın: $t_{\text{yüksek}}=\frac{v_{0y}}{g}=\frac{10}{10}=1$ s.
3. Toplam uçuş süresini bulun: $T=2t_{\text{yüksek}}=2$ s. Bu iki kat ilişkisi, yalnızca cismin aynı seviyeye döndüğü durumda kullanılmaktadır.
4. En yüksek noktayı bulun: $h_{\text{max}}=\frac{v_{0y}^2}{2g}=\frac{10^2}{20}=5$ m.
5. Menzili hesaplayın: $R=v_{0x}T\approx17{,}32\cdot2=34{,}64$ m.

Sonuç: Cisim 1 s sonra en yüksek noktaya çıkar, bu nokta atış seviyesinin 5 m üzerindedir; toplam 2 s havada kalır ve yaklaşık 34,64 m yatay menzil alır. En yüksek noktada toplam hız sıfır değildir; yatay hız yaklaşık 17,32 m/s olarak sürer.

Yörünge, hız yönü ve ivmeyi birbirinden ayırma

İki boyutta hareket sorularında üç farklı kavram karıştırılabilir: yörünge, hız ve ivme.

Yörünge, cismin uzayda izlediği geometrik yoldur. Yatay atış ve eğik atışta ideal model altında bu yol paraboldür. Hız vektörü ise yörüngeye teğettir; cismin hem hangi yönde hem hangi süratle ilerlediğini gösterir. Düşey hızın işareti, cismin yükselip yükselmediği hakkında bilgi verir: $v_y>0$ yükselme, $v_y=0$ en yüksek nokta, $v_y<0$ alçalma anlamına gelir.

İvme, hızın zamanla değişimini gösterir. Hava direnci ihmal edildiğinde ivme yalnızca düşey yönde bulunur: $a_x=0$, $a_y=-g$. Bu yüzden cisim en yüksek noktada olsa bile ivmesi sıfır değildir. O anda yalnızca düşey hız sıfırdır; yerçekimi ivmesi aşağı yönlü olmaya devam eder.

Toplam hızın büyüklüğü $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$ ile bulunur. Yatay atışta $v_x$ sabit kalırken $|v_y|$ arttığı için sürat düşüş boyunca artar. Eğik atışta ise yükselirken düşey hız bileşeninin büyüklüğü azalır; aynı seviyeye dönüşte, hava direnci yoksa başlangıç hızının büyüklüğüyle aynı değere ulaşır. Bu son karşılaştırma başlangıç ve bitiş seviyelerinin eşit olması koşuluna bağlıdır.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Uçuş süresini yatay hızdan bulmak: Yatay atışta yere düşme süresi, düşey konum denkleminden çıkarılır. $v_0$ yalnızca yatay menzili belirler; $t=\sqrt{2h/g}$ bağıntısında yer almaz.

2. En yüksek noktada hızın tamamını sıfır kabul etmek: Bu noktada yalnızca $v_y=0$ olur. $v_x$ sıfır değilse cisim yatay yönde ilerlemeyi sürdürür.

3. Yerçekimini yatay yönde kullanmak: Hava direnci ihmal edildiğinde $a_x=0$, $a_y=-g$ alınır. Bu nedenle yatay hız sabittir.

4. Aynı seviyeye düşme formülünü farklı yüksekliklerde kullanmak: $T=2v_0\\sin\theta/g$ ve $R=v_0^2\\sin(2\theta)/g$ bağıntıları başlangıç ve bitiş seviyeleri eşit olduğunda kullanılmalıdır. Farklı yüksekliklerde önce $y(t)$ denklemi çözülür.

5. İşaretleri gelişigüzel seçmek: Yukarı yönü pozitif seçildiyse düşey ivme $-g$; aşağı yönü pozitif seçildiyse $+g$ yazılır. Önemli olan, konum, hız ve ivme işaretlerini aynı seçimle tutarlı kullanmaktır.

6. $g=10$ değerini koşulsuz gerçek değer sanmak: Lise sorularında işlem kolaylığı için çoğunlukla $g=10$ m/s² alınabilir; soruda farklı bir değer verilirse o kullanılmalıdır. Kaynaklardaki modelde ayrıca yerçekimi ivmesinin hareket süresince sabit olduğu kabul edilir.

7. Hava direncini yok sayma koşulunu unutmak: Hava direnci hesaba katılırsa yatay hız sabit kalmayabilir ve hareket denklemleri değişir. Bu rehberdeki basit bağıntılar, hava direncinin ihmal edildiği ideal durum içindir.