Rasyonel ve İrrasyonel Sayılar: Farklar ve Çözümler

Bir sayının rasyonel sayılması için gereken iki koşul

Bir $q$ sayısı, $q=\frac{a}{b}$ biçiminde yazılabiliyorsa rasyoneldir. Burada $a$ ve $b$ tam sayı olmalı, payda olan $b$ ise sıfır olmamalıdır. Bu iki koşul birlikte aranır.

Örneğin $5=\frac{5}{1}$ olduğu için $5$ rasyoneldir. Benzer biçimde $-7=\frac{-7}{1}$, $0=\frac{0}{1}$ ve $\frac{11}{-3}$ rasyoneldir. Bu nedenle tam sayılar, rasyonel sayıların alt kümesidir: Her tam sayı paydasına $1$ yazılarak rasyonel biçimde gösterilebilir.

Sonlu ondalık sayılar da rasyoneldir. $0,75$ sayısında virgülden sonra iki basamak bulunduğu için $0,75=\frac{75}{100}=\frac{3}{4}$ yazılabilir. Devirli ondalık sayılar da rasyoneldir; çünkü tekrar eden basamaklar cebirsel bir işlemle kesre dönüştürülebilir. Örneğin $0,333\ldots=\frac{1}{3}$ olur.

Burada önemli sınır, paydanın sıfır olamayacağıdır. $\frac{4}{0}$ bir sayı olarak tanımlı değildir; bu yüzden rasyonel sayı sınıfına da girmez. Ayrıca bir sayının kesirli görünmesi tek başına yeterli değildir: Kesrin pay ve paydası tam sayı olmalıdır.

Ondalık gösterim, sınıflandırmayı nasıl kesinleştirir?

Bir gerçek sayının ondalık açılımı üç biçimde düşünülebilir: sonlu, sonsuz devirli veya sonsuz devirsiz. Sonlu gösterim bir noktada biter; örneğin $0,125$ sayısı sonludur ve $\frac{125}{1000}=\frac{1}{8}$ biçiminde yazılabilir. Sonsuz devirli gösterimde belirli bir basamak grubu tekrar eder; $0,666\ldots=\frac{2}{3}$ buna örnektir. Bu iki durum rasyonel sayılara aittir.

İrrasyonel sayıların ondalık gösterimi ise sonsuz sürer ve sabit bir tekrar örüntüsü oluşturmaz. $\sqrt{2}=1,4142135\ldots$ ve $\pi=3,14159\ldots$ bu gruptadır. Buradaki 'devirsiz' ifadesi, birkaç basamağın henüz tekrar etmemesinden daha güçlü bir iddiadır: Ondalık açılımın herhangi bir noktasından sonra düzenli biçimde tekrar eden sonlu bir blok bulunmaması gerekir.

Bu ilişkiyi tersinden de kullanabilirsiniz: Ondalık gösterimi sonlu veya devirli olan bir sayı rasyoneldir. Fakat yalnızca yaklaşık ondalık değer verilmişse kesin sınıflandırma yapılamaz. Örneğin $\sqrt{2}\approx1,414$ yazmak, $\sqrt{2}$ sayısının tam olarak $1,414$ olduğu anlamına gelmez; bu, irrasyonel sayının sınırlı basamakla yaklaşık gösterimidir.

Bir kesrin ondalık açılımının neden sonlu ya da devirli olduğu da önemlidir. Kesir sadeleştirildikten sonra paydanın asal çarpanları yalnızca $2$ ve $5$ ise ondalık gösterim sonludur; başka asal çarpanlar varsa gösterim devirli olur. Örneğin $\frac{3}{8}$ sonludur, çünkü $8=2^3$; $\frac{1}{6}$ ise devirlidir, çünkü paydada $3$ çarpanı bulunur. Her iki sayı da yine rasyoneldir.

Kareköklerde tam kare kontrolü: kısa yolun sınırları

Köklü ifadelerde ilk kontrol, kök içindeki sayının tam kare olup olmadığıdır. $\sqrt{9}=3$, $\sqrt{16}=4$ ve $\sqrt{25}=5$ olduğundan bu ifadeler rasyoneldir. Çünkü sonuçları tam sayıdır ve her tam sayı rasyonel kabul edilir.

Pozitif bir tam sayının karekökü, kök içindeki sayı tam kare değilse irrasyoneldir. Bu nedenle $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$ ve $\sqrt{7}$ irrasyoneldir. Ancak bu kısa yolun koşulu önemlidir: Kök içindeki ifade pozitif bir tam sayı olmalı ve ifade gerçekten sadeleştirilmelidir. Örneğin $\sqrt{12}$ ilk bakışta tam kare görünmez; fakat $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$ olur ve $\sqrt{3}$ irrasyonel olduğu için sonuç irrasyoneldir.

Kök içinde bir kesir varsa ayrıca dikkat gerekir. Kesir önce en sade hâle getirilmelidir. Sade biçimdeki pay ve paydanın her ikisi de tam kareyse karekök rasyoneldir; aksi durumda irrasyoneldir. Örneğin $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ rasyoneldir. $\sqrt{\frac{2}{8}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ de rasyoneldir; burada başlangıçtaki $2$ ve $8$ ayrı ayrı tam kare değildir. Buna karşılık $\sqrt{\frac{2}{9}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$ irrasyoneldir.

Bir başka sınır da irrasyonel sayıların işlemler altındaki davranışıdır. İki irrasyonel sayının toplamı veya çarpımı mutlaka irrasyonel olmak zorunda değildir. $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ rasyoneldir. Ayrıca $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ olur. Bu nedenle 'işlemde irrasyonel sayı varsa sonuç irrasyoneldir' biçimindeki genelleme yanlıştır.

Gerçek sayılar içindeki yerleri ve işlemlerde değişen sonuçlar

Rasyonel sayılar kümesi $\mathbb{Q}$ ile gösterilir. İrrasyonel sayılar, gerçek sayılar kümesinde rasyonel olmayan sayılardır ve $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ biçiminde ifade edilebilir. Böylece gerçek sayılar iki parçaya ayrılır: Rasyonel ve irrasyonel sayılar.

Sayı doğrusunda rasyonel ve irrasyonel sayılar arasında bir 'boşluk' bulunmaz. Her iki tür de gerçek sayılar olduğundan karşılaştırılabilir ve sayı doğrusunda bir konuma karşılık gelir. Örneğin $1<\sqrt{2}<2$ çünkü $1^2<2<2^2$.

İşlemler bakımından rasyonel sayılar toplama, çıkarma, çarpma ve sıfırdan farklı bir rasyonel sayıya bölme işlemlerinde kapalıdır. Başka bir ifadeyle iki rasyonel sayıyla bu işlemler yapıldığında, bölme işleminde bölen sıfır değilse sonuç yine rasyonel olur. İrrasyonel sayılar için aynı kapanış kuralı bütün işlemlerde geçerli değildir. $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ irrasyoneldir; fakat $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ rasyoneldir.

Çarpımda da benzer bir ayrım vardır: $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}=\sqrt{6}$ irrasyoneldir, ancak $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ rasyoneldir. Sonucu belirlemek için sayıların birbirinin zıddı, eşleniği veya aynı irrasyonel çarpan olup olmadığına bakmak gerekir; yalnızca türlerine bakarak kesin karar verilemez.

$\pi$, $e$ ve $\phi$ gibi özel sayılar irrasyonel örneklerdir. $\pi$ hakkında daha ayrıntılı bir açıklama için Pi Sayısı Neden Bitmez? yazısına göz atabilirsiniz. Bu sayıların yaklaşık değerleri hesaplamalarda kullanılabilir; ancak yaklaşık gösterim, sayının kesin olarak rasyonel olduğu anlamına gelmez.

Çözümlü örnekler: verilen ifadeden sonuca ulaşma

Örnek 1 — $0,272727\ldots$ sayısının türünü belirleyelim.

Verilen: $x=0,272727\ldots$ ve tekrar eden blok $27$'dir.

1. Ondalık açılımın sonsuz olduğunu görüyoruz; ancak $27$ bloğu düzenli biçimde tekrar ediyor.
2. Sonsuz devirli ondalık sayılar rasyoneldir.
3. Bunu kesirle de doğrulayabiliriz. $x=0,272727\ldots$ olsun. Her iki tarafı $100$ ile çarpalım: $100x=27,272727\ldots$.
4. İlk eşitlikten ikincisini çıkaralım: $100x-x=27,272727\ldots-0,272727\ldots$.
5. Böylece $99x=27$ ve $x=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}$ bulunur.

Sonuç: $0,272727\ldots$ rasyoneldir. Devirli olması, sonsuz olmasına rağmen onu irrasyonel yapmaz.

Örnek 2 — $\sqrt{72}$ sayısını sınıflandıralım.

Verilen: $\sqrt{72}$.

1. Kök içindeki sayıyı tam kare çarpanlarına ayıralım: $72=36\cdot2$.
2. Karekökü ayıralım: $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt{2}$.
3. $\sqrt{2}$ tam kare olmayan bir pozitif tam sayının kareköküdür ve irrasyoneldir.
4. Sıfır olmayan rasyonel bir sayı olan $6$ ile irrasyonel $\sqrt{2}$'nin çarpımı irrasyoneldir; burada sonuç $6\sqrt{2}$ biçiminde sadeleşmiş durumdadır.

Sonuç: $\sqrt{72}$ irrasyoneldir.

Örnek 3 — $\sqrt{\frac{49}{81}}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}$ ifadesini inceleyelim.

1. $\sqrt{\frac{49}{81}}=\frac{7}{9}$, çünkü hem $49$ hem de $81$ tam karedir.
2. $\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2$ olur.
3. İfade $\frac{7}{9}+2=\frac{25}{9}$ biçimine dönüşür.
4. $\frac{25}{9}$ iki tam sayının oranı olduğundan rasyoneldir.

Sonuç: İfade içinde irrasyonel görünen $\sqrt{2}$ bulunmasına rağmen sonuç rasyoneldir. İşlem tamamlanmadan yalnızca görünen sembole bakarak karar verilmemelidir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Sonsuz ondalığı doğrudan irrasyonel sanmak: $0,333\ldots$ sonsuzdur fakat devirlidir ve $\frac{1}{3}$'e eşittir. Karar verirken 'sonsuz mu?' sorusunun yanında 'devirli mi?' sorusu da sorulmalıdır.

2. Her köklü ifadeyi irrasyonel kabul etmek: $\sqrt{16}=4$ ve $\sqrt{\frac{9}{16}}=\frac{3}{4}$ rasyoneldir. Kök içindeki sayının tam kare olup olmadığı kontrol edilmeden sınıflandırma yapılmamalıdır.

3. Yaklaşık değer ile kesin değeri karıştırmak: $\pi\approx3,14$ yazılabilir; fakat $\pi=3,14$ değildir. Yaklaşık yazım, hesap kolaylığı sağlar ve sayının gerçek türünü değiştirmez.

4. Kesirli görünen her ifadeyi rasyonel sanmak: Rasyonel tanımında pay ve paydanın tam sayı olması gerekir. Ayrıca payda sıfır olamaz. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ irrasyoneldir; çünkü rasyonel olsaydı $3$ ile çarpıldığında $\sqrt{2}$ de rasyonel olurdu, bu da $\sqrt{2}$'nin irrasyonel olmasıyla çelişir. Genel olarak görünen pay ve paydaya değil, ifadenin bir tam sayı oranına eşit olup olmadığına bakılmalıdır.

5. İki irrasyonelin işlemini otomatik sınıflandırmak: $\sqrt{2}+\sqrt{2}=2\sqrt{2}$ irrasyoneldir, fakat $\sqrt{2}+(-\sqrt{2})=0$ rasyoneldir. İşlemi sadeleştirmek ve olası yok olmaları görmek gerekir.

6. 'Tam kare değilse her köklü ifade irrasyoneldir' kuralını koşulsuz uygulamak: Bu ifade, özellikle pozitif tam sayıların karekökleri için kullanılan pratik bir kuraldır. Kök içinde cebirsel ifade, kesir veya zaten sadeleşebilen çarpanlar varsa önce ifade düzenlenmelidir.