Korunum Yasaları: Enerji, Momentum ve Açısal Momentum

Korunum denklemi yazmadan önce sistem ve etkileşim sınırını seçmek

Bir korunum yasasını uygulamanın ilk adımı, 'sistem' olarak hangi cisimleri veya parçacıkları seçtiğinizi belirtmektir. Sistem, incelenen olayın içindeki cisimlerin tamamı olabilir; sistemin dışındaki her şey çevre kabul edilir. Bir niceliğin sistem içinde yeniden dağılması, toplamının değiştiği anlamına gelmez. Değişim, sistem ile çevre arasındaki aktarım sonucunda ortaya çıkar.

Enerji için izole sistem, çevreyle enerji alışverişinin ihmal edilebildiği sistemdir. Toplam enerjiye ısı, ses, deformasyon ve iç enerji de dahil edilirse enerji korunumu daha geniş bir çerçevede yazılır. Fakat yalnızca mekanik enerjiye, yani kinetik ve potansiyel enerjilerin toplamına bakılıyorsa sürtünme ve hava direnci gibi etkiler ayrıca değerlendirilmelidir.

Doğrusal momentum açısından önemli ölçüt, dış kuvvetten çok dış itkinin etkisidir. Bir olayın kısa zaman aralığında $\vec{J}_{dış}=\int \vec{F}_{dış}\,dt$ ifadesi küçükse, sistemin toplam doğrusal momentumu yaklaşık olarak korunabilir. Bu nedenle bir çarpışmada masa ile top arasındaki kuvvet tamamen yok olmasa da çarpışma süresi çok kısa olduğu için yatay momentum korunumu kullanılabilir. Düşey yönde ise ağırlık ve masa tepki kuvveti birlikte değerlendirilmelidir.

Açısal momentumda ise dönme ekseni veya referans noktası açıkça seçilmelidir. Sabit bir eylemsiz referans noktasına göre toplam dış tork vektörü sıfırsa açısal momentum vektörü korunur. Bir eksene göre yalnızca dış torkun o eksen bileşeni sıfırsa, açısal momentumun o eksen üzerindeki bileşeni korunur. Olay süresince dış torkun itkisel etkisi ihmal edilebiliyorsa bu sonuçlar yaklaşık olarak kullanılabilir. Aynı olay için bir noktaya göre açısal momentum korunurken başka bir noktaya göre korunmayabilir. Bu yüzden yalnızca 'dış kuvvet yok' demek yeterli değildir; torkun hangi noktaya göre hesaplandığı da belirtilmelidir.

Enerji korunumu ile mekanik enerji korunumu arasındaki sınır

İzole bir sistemin toplam enerjisi sabittir. Enerji biçim değiştirebilir; örneğin kinetik enerji potansiyel enerjiye, ısıya, sese veya deformasyon enerjisine dönüşebilir. Bu nedenle bir olayda kinetik enerji azaldığında 'enerji korunmuyor' sonucu çıkarılamaz. Önce yalnızca mekanik enerjinin mi, yoksa bütün enerji türlerinin mi izlendiği belirlenmelidir.

Sürtünmenin ve hava direncinin ihmal edildiği bir hareket için mekanik enerji denklemi $E_{k,ilk}+E_{p,ilk}=E_{k,son}+E_{p,son}$ şeklinde yazılabilir. Yerçekimi potansiyel enerjisinin değişimi için seçilen referans düzeyine göre $E_p=mgh$, yay potansiyel enerjisi için ise $E_p=\frac{1}{2}kx^2$ kullanılabilir. Kinetik enerji $E_k=\frac{1}{2}mv^2$ olduğundan hızın karesiyle değişir; bu nedenle hız iki katına çıktığında aynı kütle için kinetik enerji dört katına çıkar.

Sürtünme varsa mekanik enerji denklemi doğrudan sabit eşitliği biçiminde yazılmamalıdır. Uygun bir sistem sınırı ve mekanik enerjiye dahil edilen potansiyel enerjilerin tanımı altında mekanik enerjideki değişim, $E_{mek,son}-E_{mek,ilk}=W_{korunumlu olmayan,net}$ şeklinde yazılabilir. Buradaki net iş, tüm korunumlu olmayan kuvvetlerin ve varsa dışarıdan yapılan enerji aktarımının mekanik enerjiye etkisini içerir. Statik sürtünme ise her durumda mekanik enerji kaybına yol açmaz.

Enerji yöntemi özellikle kuvvetin zamana bağlı ayrıntısı gerekmeyen problemlerde kullanışlıdır. Ancak bir çarpışmanın son hızlarını bulmak için yalnızca enerji korunumu yetmeyebilir; çarpışmanın esnek olup olmadığı ve momentum denklemi de bilinmelidir.

Çarpışma ve patlamalarda doğrusal momentumun kullanılması

Bir sistemin toplam doğrusal momentumu $\vec{P}=\sum_i m_i\vec{v}_i$ olarak tanımlanır. Dış itki ihmal edilebiliyorsa $\sum \vec{P}_{ilk}=\sum \vec{P}_{son}$ yazılır. Momentum vektörel bir nicelik olduğu için önce bir pozitif yön seçilmeli, ters yöndeki hızlar negatif işaretle gösterilmelidir.

İki cismin tek boyutlu çarpışması için denklem şu biçimdedir: $m_1v_{1,ilk}+m_2v_{2,ilk}=m_1v_{1,son}+m_2v_{2,son}$. Bu denklem, çarpışmanın esnek olup olmadığından bağımsız olarak dış itki ihmal edildiği sürece kullanılabilir. Dış itkinin yanı sıra dış işin de ihmal edilebildiği ve etkileşimin esnek olduğu bir çarpışmada toplam momentum ile toplam kinetik enerji birlikte korunur. Esnek olmayan çarpışmada kinetik enerjinin bir bölümü ısı, ses veya deformasyona dönüşebilir. Cisimler çarpışmadan sonra birbirine yapışıyorsa bu, tamamen esnek olmayan çarpışma modelidir ve ortak son hız $v_{son}$ için $m_1v_{1,ilk}+m_2v_{2,ilk}=(m_1+m_2)v_{son}$ yazılır.

Patlamada da aynı momentum ilkesi geçerlidir. Başlangıçta sistem duruyorsa toplam momentum sıfırdır; patlama sonrasında parçaların momentumları zıt yönlerde olabilir. Bu, her parçanın hızının eşit olacağı anlamına gelmez. Kütlesi küçük olan parça, momentum büyüklüklerini dengelemek için daha büyük hız kazanabilir.

Momentum ile kinetik enerji aynı nicelik değildir. Momentum hızla birinci dereceden, kinetik enerji hızın karesiyle ilişkilidir. Bu fark, yön değişiminin önemli olduğu çarpışma sorularında özellikle dikkate alınmalıdır.

Dönme hareketinde tork, eksen ve açısal momentum ilişkisi

Bir parçacığın seçilen O noktasına göre açısal momentumu $\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}$ şeklindedir. Burada $\vec{r}$, O noktasından parçacığa uzanan konum vektörü; $\vec{p}=m\vec{v}$ ise doğrusal momentumdur. Katı bir cismin sabit bir eksen çevresindeki dönmesi için uygun koşullarda $L=I\omega$ bağıntısı kullanılır. $I$ eylemsizlik momenti, kütlenin dönme eksenine göre nasıl dağıldığını; $\omega$ ise açısal hızı gösterir.

Sabit bir eylemsiz referans noktasına göre toplam dış tork vektörü sıfırsa $\sum \vec{\tau}_{dış}=0 \Rightarrow \vec{L}_{son}=\vec{L}_{ilk}$ sonucu elde edilir. Bir eksene göre yalnızca dış torkun o eksen bileşeni sıfırsa, açısal momentumun o eksen üzerindeki bileşeni korunur. Bu ifade, dış kuvvetlerin mutlaka sıfır olmasını gerektirmez. Örneğin kuvvetin doğrultusu seçilen noktadan geçiyorsa o noktaya göre torku sıfır olabilir. Karar kuralı, kuvveti değil dış torkların toplamını seçilen referans noktasına göre incelemektir.

Bir patencinin kollarını gövdesine çekmesi bu ilkeyle açıklanır. Sistem dış torktan yeterince yalıtılmışsa $I_i\omega_i=I_s\omega_s$ olur. Eylemsizlik momenti azaldığında açısal hız artabilir. Bunun nedeni açısal momentumun sabit kalmasıdır; fakat dönme kinetik enerjisi zorunlu olarak sabit kalmayabilir. Patenci kollarını hareket ettirirken kendi iç enerjisini dönme hareketine aktarabilir.

Merkezi kuvvetlerde kuvvet doğrultusu merkezden geçtiği için merkeze göre tork sıfırdır. Bu durumda açısal momentum korunur ve yörüngedeki hareketin alan tarama özelliği açıklanabilir. Konunun yörünge ve merkezi kuvvet boyutu için Merkezi Kuvvetler, katı cisimlerde eylemsizlik momenti için Katı Cisim Dinamiği bağlantılarına bakılabilir.

Noether Teoremi: simetri ile korunan niceliği eşleştirmek

Noether Teoremi, eylem ilkesine dayalı bir fiziksel kuramda sürekli ve türevlenebilir bir simetri dönüşümünün karşılık gelen bir korunum niceliği doğurduğunu ifade eder. Buradaki temel fikir, fizik yasalarının belirli dönüşümler altında değişmemesidir.

Zaman öteleme simetrisi, fizik yasalarının deneyin ne zaman yapıldığına bağlı olmamasını ifade eder ve enerji korunumu ile ilişkilidir. Uzay öteleme simetrisi, fizik yasalarının konuma bağlı olmaması durumunda doğrusal momentum korunumu ile ilişkilidir. Uzay dönme simetrisi ise yönelim seçiminin fizik yasalarının sonucunu değiştirmemesi durumunda açısal momentum korunumu ile bağlantılıdır.

Bu eşleştirmeler, her somut sistemde koşulsuz olarak 'enerji, momentum ve açısal momentum birlikte korunur' demek değildir. Bir sistemin Lagrangian'ı zamana açıkça bağlı değilse enerjiyle ilişkili korunum sonucu elde edilir. Benzer biçimde, ilgili uzaysal simetrinin dış alan veya sınır koşulları tarafından bozulup bozulmadığı incelenmelidir. Örneğin dışarıdan belirli bir yönde uygulanan kuvvet, uzay dönme simetrisini ve buna bağlı açısal momentum korunumu koşulunu bozabilir.

Lagrange ve Hamilton formalizmleri, bu ilişkileri sistematik biçimde kurar. Lagrangian'ın bir genelleştirilmiş koordinata açıkça bağlı olmaması, o koordinata karşılık gelen genelleştirilmiş momentumun korunmasına yol açabilir. Bu ayrıntılı türetimler için Lagrange Mekaniği ve Hamilton Mekaniği konularına geçilebilir.

Çözümlü örnekler: hangi korunum yasası ne zaman seçilir?

Örnek 1: Birbirine yapışan iki cisim

Verilenler: $m_1=2\,\text{kg}$ kütleli cisim $v_{1,ilk}=3\,\text{m/s}$ hızıyla sağa gidiyor. $m_2=1\,\text{kg}$ kütleli ikinci cisim başlangıçta duruyor. Çarpışmadan sonra iki cisim birbirine yapışıyor. Yatay doğrultuda dış itkinin ihmal edildiği kabul ediliyor.

1. Sistem ve yön seçimi: İki cisim birlikte sistemdir. Sağı pozitif seçelim. Bu seçimle $v_{2,ilk}=0$ olur.

2. Uygun yasa: Cisimler yapıştığı için kinetik enerjinin korunacağını varsayamayız. Dış itki ihmal edildiğinden doğrusal momentum korunur: $2\cdot3+1\cdot0=(2+1)v_{son}$.

3. Bilinmeyeni çözme: $6=3v_{son}$, $v_{son}=2\,\text{m/s}$.

Sonuç: İki cisim birlikte sağa doğru $2\,\text{m/s}$ hızla hareket eder. Başlangıç kinetik enerjisi $\frac{1}{2}\cdot2\cdot3^2=9\,\text{J}$ iken son kinetik enerji $\frac{1}{2}\cdot3\cdot2^2=6\,\text{J}$ olur. Aradaki $3\,\text{J}$, toplam enerji yok olmadığı hâlde deformasyon, ısı veya ses gibi mekanik olmayan biçimlere aktarılmış olabilir.

Örnek 2: Eylemsizlik momenti değişen dönen sistem

Verilenler: Dış torkun ihmal edildiği bir sistemde başlangıç eylemsizlik momenti $I_i=4\,\text{kg}\,\text{m}^2$ ve açısal hızı $\omega_i=2\,\text{rad/s}$ olsun. Sistem içindeki kütle dağılımı değişerek $I_s=2\,\text{kg}\,\text{m}^2$ hâline geliyor.

1. Korunum koşulunu kontrol etme: Dış tork ihmal edildiği için seçilen sabit eylemsiz eksene göre açısal momentum korunur.

2. Denklemi kurma: $I_i\omega_i=I_s\omega_s$.

3. Sayıları yerleştirme: $4\cdot2=2\cdot\omega_s$.

4. Sonucu bulma: $\omega_s=4\,\text{rad/s}$.

Sonuç: Eylemsizlik momenti yarıya indiğinde açısal hız iki katına çıkar. Bu sonuç yalnızca dış torkun etkisinin ihmal edilebildiği ve aynı dönme ekseninin kullanıldığı model için geçerlidir. Bu hesap, dönme kinetik enerjisinin de otomatik olarak sabit kaldığını göstermez.