İki Boyutta Hareket: Yatay Atış ve Eğik Atış Çözümü

Tek bir hareketi iki koordinat denklemiyle kurmak

Önce bir koordinat sistemi seçilir. Genellikle yatay doğrultu $x$, düşey doğrultu $y$ olarak adlandırılır. İşaret seçimi çözüm boyunca değiştirilmemelidir. Yukarı yön pozitif seçilirse yerçekimi ivmesi $a_y=-g$ olur; aşağı yön pozitif seçilirse $a_y=+g$ yazılır. Kaynak özette de yön seçiminin hız-zaman ve ivme-zaman ilişkilerini belirlediği vurgulanır.

Hava direnci yokken yatay yönde kuvvet olmadığı kabul edilirse $a_x=0$ ve yatay hız sabit kalır. Düşey yönde ise $a_y=-g$ olduğundan düşey hız zamanla değişir. Genel sabit ivmeli hareket denklemleri şöyledir:

$x=x_0+v_{0x}t+\frac{1}{2}a_xt^2$

$y=y_0+v_{0y}t+\frac{1}{2}a_yt^2$

İki boyutlu yer değiştirme tek bir sayı değil, iki bileşenli bir vektördür: $\Delta \vec r=(\Delta x,\Delta y)$. Cismin sürati ise hız vektörünün büyüklüğüdür: $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$. Bu ayrım önemlidir; yatay hız sabit kalsa bile düşey hız değiştiği için toplam hızın yönü ve büyüklüğü değişebilir.

Bir büyüklüğü hesapladıktan sonra onun ne ifade ettiğine bakılmalıdır. Örneğin $x$ yatay konumu, başlangıç noktasına göre yatay uzaklıktır; $y$ ise seçilen işaret sistemine göre yükseklik veya aşağı yöndeki düşey uzaklıktır. Sonucun pozitif ya da negatif olması, tek başına cismin hareket edip etmediğini değil, cismin seçilen başlangıç noktasının hangi tarafında olduğunu gösterir.

Yatay atışta uçuş süresi neden yalnızca yüksekliğe bağlıdır?

Yatay atışta cisim bir yükseklikten yatay hızla gönderilir. Başlangıç düşey hızı $v_{0y}=0$ olduğu için, yukarı yön pozitif seçildiğinde başlangıç konumu $y_0=h$ ve düşey hareket denklemi $y=h-\frac{1}{2}gt^2$ biçimine gelir. Cisim yere ulaştığında $y=0$ kabul edilirse:

$0=h-\frac{1}{2}gt^2$

Buradan uçuş süresi $t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ bulunur. Bu sonuç, aynı yükseklikten yatay hızları farklı iki cismin, hava direnci ihmal edildiğinde yere ulaşma sürelerinin aynı olacağını söyler. Yatay hız, bu süreyi değil, cismin yere düşene kadar aldığı yatay mesafeyi değiştirir.

Yatay konum için $x=v_{0x}t$ yazılır. Yere çarpma yatay uzaklığı dolayısıyla $R=v_{0x}\sqrt{\frac{2h}{g}}$ olur. Buradaki $R$, yatay atışın menzilidir. Yatay hız büyürse uçuş süresi aynı kalırken menzil artar; yükseklik artarsa hem uçuş süresi hem de menzil artar.

Düşey hız ise başlangıçta sıfırdır ve aşağı yönlü büyür. Aşağı yönü pozitif seçersek $v_y=gt$; yukarı yönü pozitif seçersek $v_y=-gt$ yazılır. Yere çarpma anındaki toplam hızın büyüklüğü, yatay ve düşey bileşenlerle $v=\sqrt{v_{0x}^2+(gt)^2}$ biçiminde hesaplanır. Bu nedenle cisim yere ulaştığında yalnızca yatay hızını söylemek çarpma hızını tam olarak vermez.

Eğik atışta ilk hızın sinüs ve kosinüs bileşenleri

Cisim yatayla $\theta$ açısı yapacak biçimde $v_0$ ilk hızıyla atılırsa ilk hız iki bileşene ayrılır:

$v_{0x}=v_0\cos\theta$

$v_{0y}=v_0\sin\theta$

Hava direnci ihmal edildiğinde $v_x=v_0\cos\theta$ sabit kalır. Düşey hız ise yukarı yön pozitifken $v_y=v_0\sin\theta-gt$ olur. Konum denklemleri:

$x=v_0\cos\theta\,t$

$y=y_0+v_0\sin\theta\,t-\frac{1}{2}gt^2$

Bu denklemler yalnızca başlangıç ve varış koşulları ile uyumlu aralıkta kullanılmalıdır. Örneğin cisim yerden atılıp aynı seviyeye dönerse toplam uçuş süresi, $y_0=0$ ve son konum $y=0$ koşulundan elde edilir: $t=\frac{2v_0\sin\theta}{g}$. Aynı seviyeye dönüş koşulu yoksa bu formül doğrudan kullanılamaz; başlangıç ve son yükseklikler denkleme ayrıca yazılmalıdır.

Eğik atışta en yüksek noktada düşey hız $v_y=0$ olur; fakat yatay hız $v_x$ sıfır değildir. Bu yüzden cisim en yüksek noktada durmaz, yatay yönde hareket etmeyi sürdürür. En yüksek noktaya çıkma süresi $t_{max}=\frac{v_0\sin\theta}{g}$, başlangıç seviyesine göre maksimum yükseklik ise $H=\frac{(v_0\sin\theta)^2}{2g}$ olur. Bu sonuçlar, yalnızca hava direnci ihmal edilen ve yerçekimi ivmesi sabit kabul edilen model içindir.

Konum denklemlerinden zaman yok edilirse yörüngenin parabol olduğu görülür. Ancak parabol ifadesi, yerçekimi ivmesinin sabit ve yatay ivmenin sıfır olduğu ideal modelin sonucudur; hava direnci hesaba katılırsa yörünge bu basit denklemle açıklanmaz.

Zamanı ortak değişken olarak kullanarak konumu ve hızı birleştirmek

Yatay ve düşey denklemler bağımsız yazılsa da iki hareketi bağlayan ortak değişken zamandır. Aynı $t$ anında hesaplanan $x(t)$ ve $y(t)$, cismin düzlemdeki konumunu verir. Farklı zamanlar kullanılırsa fiziksel olarak aynı ana ait olmayan iki konum birleştirilmiş olur.

Örneğin yatay atışta $x=v_{0x}t$ olduğundan $t=\frac{x}{v_{0x}}$ yazılabilir. Düşey uzaklık aşağı yön pozitif seçilirse $y=\frac{1}{2}gt^2$ olur. Zaman yerine yatay konum yazılırsa $y=\frac{g}{2v_{0x}^2}x^2$ elde edilir. Düşey uzaklığın yatay uzaklığın karesiyle değişmesi, yörüngenin parabol biçimini açıklar.

Hız bileşenleri için de aynı yaklaşım geçerlidir. Yatay bileşen sabit olsa bile düşey bileşen zamanla değişir. Bir anda hızın yönünü bulmak istenirse $\tan\alpha=\frac{|v_y|}{|v_x|}$ bağıntısı kullanılabilir; burada $\alpha$, hız vektörünün yatayla yaptığı açıdır. Bu açı, cismin atış açısıyla aynı olmak zorunda değildir. Eğik atışta yükselirken düşey hız pozitif, en yüksek noktada sıfır, inerken negatif olabilir; hız yönü de buna göre değişir.

Hız kime göre ölçülüyor: iki boyutlu bağıl hareket

İki boyutlu hareket sorularında bir başka kritik nokta referans sistemidir. Bağıl hareket, bir cismin hızının başka bir gözlemciye göre ifade edilmesidir. Bir gözlemciye göre cismin konum ve hız bileşenleri farklı görünebilir; ancak aynı referans sisteminde vektörler tutarlı biçimde toplanmalıdır.

Bir A cisminin B'ye göre hızı şu vektörel farkla yazılır: $\vec v_{A/B}=\vec v_A-\vec v_B$. Örneğin doğuya doğru $4\,m/s$ giden A ile doğuya doğru $4\,m/s$ giden B için $\vec v_{A/B}=0$ olur. Bu, A'nın yere göre durduğu anlamına gelmez; yalnızca B gözlemcisine göre A'nın konumunun değişmediğini gösterir. Aynı yönde farklı hızlar varsa bağıl hız, hızların farkıdır. Dik yönlerde hareket varsa bileşenler ayrı ayrı çıkarılır ve sonuç vektör olarak değerlendirilir.

Bu kavram, hareketli araçtan bırakılan cismin neden araçtaki ve yerdeki gözlemciye farklı yörüngelerde görünebildiğini açıklar. Yatay atış denklemlerini kullanmadan önce hızın hangi gözlemciye göre verildiği belirlenmelidir.

Çözümlü örnekler: yatay atışta süre, menzil ve çarpma hızı

Örnek 1 — Verilenler: Bir cisim $h=20\,m$ yüksekliğinden yatay olarak $v_{0x}=15\,m/s$ hızla atılıyor. Hava direnci ihmal ediliyor ve $g=10\,m/s^2$ alınıyor. Cismin yere düşme süresi ve yatay menzili isteniyor.

1. Düşey hareketi seçelim. Başlangıç düşey hızı sıfır olduğundan aşağı yönü pozitif alırsak $h=\frac{1}{2}gt^2$ yazılır.

2. Değerleri yerine koyalım: $20=\frac{1}{2}\cdot10\cdot t^2=5t^2$.

3. $t^2=4$ ve pozitif zaman seçildiği için $t=2\,s$ bulunur.

4. Yatay hareket sabit hızlıdır: $x=v_{0x}t$.

5. $x=15\cdot2=30\,m$. Cisim yere 2 saniyede ulaşır ve başlangıç düşey izdüşümünden 30 metre yatayda düşer.

6. İstenirse çarpma hızının büyüklüğü de bulunabilir. Çarpma anındaki düşey hız $v_y=gt=10\cdot2=20\,m/s$ olur. Yatay hız 15 m/s olduğundan $v=\sqrt{15^2+20^2}=\sqrt{625}=25\,m/s$.

Sonuç: uçuş süresi $2\,s$, yatay menzil $30\,m$, çarpma hızının büyüklüğü $25\,m/s$.

Örnek 2 — Verilenler: Bir top yerden $v_0=20\,m/s$ ilk hızla yatayla $30^\circ$ açı yaparak atılıyor. $g=10\,m/s^2$, $\sin30^\circ=0{,}5$ ve $\cos30^\circ\approx0{,}866$ alınsın. Topun ilk hız bileşenleri ve en yüksek noktaya çıkma süresi isteniyor.

1. İlk hızı bileşenlere ayıralım: $v_{0x}=20\cdot0{,}866=17{,}32\,m/s$ ve $v_{0y}=20\cdot0{,}5=10\,m/s$.

2. En yüksek noktada düşey hız sıfırdır. $v_y=v_{0y}-gt$ denkleminde $0=10-10t$ yazılır.

3. Buradan $t=1\,s$ bulunur.

4. Bu sürede yatay konum $x=v_{0x}t=17{,}32\cdot1=17{,}32\,m$ olur. Bu değer, topun en yüksek noktadaki yatay uzaklığıdır; menzil değildir.

Sonuç: yatay ilk hız yaklaşık $17{,}32\,m/s$, düşey ilk hız $10\,m/s$, en yüksek noktaya çıkma süresi $1\,s$ ve o andaki yatay uzaklık yaklaşık $17{,}32\,m$dir. Topun aynı seviyeye dönüp dönmediği belirtilmeden toplam uçuş süresi veya menzil için aynı seviyeye dönüş formülü kullanılamaz.

Sık yapılan hatalar ve sınır durumları

1. Yatay atışta düşey ilk hızı sıfır kabul etmemek: Yatay atış tanımı gereği ilk hızın düşey bileşeni yoktur. Eğik atışta ise $v_{0y}$ sıfır değildir.

2. Uçuş süresini yatay hıza bağlamak: Hava direnci ihmal edildiğinde yatay hız, aynı yükseklikten yapılan yatay atışta düşme süresini belirlemez; süreyi düşey hareket ve yükseklik belirler.

3. En yüksek noktada hızın sıfır olduğunu sanmak: En yüksek noktada yalnızca $v_y=0$ olur. $v_x$ sıfır değilse cismin toplam hızı vardır.

4. İşaret seçimini yarıda değiştirmek: Yukarı yön pozitif seçilmişse yerçekimi ivmesi $-g$ alınmalıdır. Aşağı yön pozitif seçilip konum denkleminin başka kısmında yukarı pozitifmiş gibi işaret kullanmak yanlış sonuç verir.

5. $g=10\,m/s^2$ değerini koşulsuz kullanmak: Bu, lise sorularında çoğunlukla yapılan yaklaşık kabuldür. Soruda farklı bir $g$ verilirse o değer kullanılmalıdır. Kaynaklardaki modelde yerçekimi ivmesi sabit kabul edilir.

6. Hava direncini yok sayma koşulunu unutmak: Yatay hızın sabit kalması, yatay yönde net kuvvetin sıfır kabul edilmesine dayanır. Hava direnci hesaba katılırsa $a_x=0$ sonucu geçerli olmaz; yatay hız zamanla değişebilir.

7. Menzil ile en yüksek noktadaki yatay uzaklığı karıştırmak: Menzil cismin varış noktasına kadar aldığı yatay uzaklıktır. En yüksek noktadaki $x$ değeri ise yalnızca tepe noktasının yatay konumudur.

8. Bağıl hızı yere göre hız sanmak: $\vec v_{A/B}$, A'nın B gözlemcisine göre hızıdır. Gözlemcinin hareketi hesaba katılmadan bu büyüklük doğrudan yerdeki hız olarak yorumlanamaz.