Eğik Düzlemde Bağlı Cisimler: İvme ve İp Gerilmesi

Eğik düzlemde kuvvetlerin bileşenlere ayrılması

Eğik düzlem üzerindeki cismin ağırlığı, düzleme göre uygun iki bileşene ayrılır: düzleme paralel ağırlık bileşeni ve düzleme dik ağırlık bileşeni. Eğik düzlemin yatayla yaptığı açı θ ise bu bileşenlerin büyüklükleri sırasıyla mg sinθ ve mg cosθ olur. Burada m cismin kütlesi, g yerçekimi ivmesi ve mg cismin ağırlığıdır. Bileşenlere ayırmak yeni kuvvetler oluşturmak anlamına gelmez; tek bir ağırlık kuvvetinin seçilen eksenlerdeki gösterimidir.

Genellikle bir eksen eğik düzleme paralel, diğeri düzleme dik seçilir. Böylece hareket yönündeki kuvvetler bir eksende, yüzeyle temasla ilgili kuvvetler diğer eksende incelenir. Düzleme dik yönde çoğu durumda ivme olmadığı için normal kuvvet, dik ağırlık bileşenini dengeler ve N = mg cosθ yazılır. Düzleme paralel yönde ise mg sinθ cismin aşağı kaymasına neden olan bileşendir. Sürtünme varsa bu doğrultuda harekete ya da hareket eğilimine zıt yönde yer alır.

Örneğin 30° eğimli düzlemde duran 2 kg kütleli bir cismin ağırlığı, g = 10 m/s² alınırsa düzleme paralel yönde 2·10·sin30° = 10 N, düzleme dik yönde ise 2·10·cos30° = 10√3 ≈ 17,3 N bileşenine ayrılır. Bu örnekte cismin düzlem boyunca hareketini başlatmaya çalışan kuvvet 10 N'dur; dik bileşen ise normal kuvvetle ilişkilidir. Açı yataydan değil başka bir doğrultudan ölçülüyorsa sinüs ve kosinüs seçimleri doğrudan ezberlenmemeli, ağırlık vektörünün oluşturduğu dik üçgen üzerinden belirlenmelidir.

Bağlı cisimler ve ip-makara düzeninin modellenmesi

Bağlı cisim sistemi, bir ipin iki ya da daha fazla cismi birbirine bağladığı ve bir cismin hareketinin diğerinin hareketini etkilediği düzendir. Tipik bir modelde bir cisim eğik düzlem üzerinde bulunur, ip düzlemin üst ucundaki makaradan geçer ve diğer cisim düşey doğrultuda asılı durur. Her cisim ayrı bir nesne olarak incelenir; ancak ip nedeniyle hareketleri ve üzerlerindeki gerilme kuvvetleri ilişkilidir.

Başlangıç düzeyindeki problemlerde ip genellikle kütlesiz ve esnemez, makara ise ideal kabul edilir. Bu varsayımlarda ipin uzunluğu değişmez, bağlı cisimlerin ivme büyüklükleri eşit olur ve ipin her yerindeki gerilme aynı kabul edilir. Gerilme, ipin cismi çektiği doğrultudadır; ip cismi itemez. İdeal makarada makara yalnızca gerilmenin yönünü değiştirir, gerilmenin büyüklüğünü değiştirmez. Bu nedenle eğik düzlemdeki cisim ip tarafından düzleme paralel çekilirken asılı cisim ip tarafından yukarı doğru çekilir.

Örneğin sürtünmesiz eğik düzlemdeki m1 kütlesi ile asılı m2 kütlesi aynı iple bağlanmış ve sistem durgun hâlden serbest bırakılmış olsun. m2'nin ağırlığı, m1'in düzleme paralel ağırlık bileşeninden büyükse m2 aşağı inerken m1 eğik düzlem boyunca yukarı çıkar. Tersi durumda m1 aşağı kayar ve m2 yükselir. Sürtünmeli düzlemde ise hareketin başlaması için bu iki kuvvetin farkı, en büyük statik sürtünme kuvvetini de aşmalıdır. İp kopuk ya da gevşek olsaydı bu ortak hareket modeli geçerli olmazdı; bu nedenle çözümden önce ipin gerili ve bağlantının korunuyor olduğu varsayımı kontrol edilmelidir.

İdeal olmayan makara kavramı, makaranın kütlesi veya dönmeye karşı etkisi bulunduğunda ideal modelden ayrılmayı ifade eder; bu ayrıntılar yalnızca makaranın dönüşü de hesaba katılan daha ileri modellerde belirleyici olur.

Serbest cisim diyagramlarının çizilmesi

Serbest cisim diyagramı, seçilen tek bir cisme etki eden dış kuvvetlerin cisimden ayrılmış biçimde gösterilmesidir. Bağlı sistemlerde bütün cisimleri tek bir şekil üzerinde karıştırmak yerine her cisim için ayrı diyagram çizilir. Önce cisim seçilir, ardından yalnızca o cisme etki eden kuvvetler gösterilir. Kuvvet oklarının yönü, kuvvetin fiziksel etkisine göre belirlenir; hareket yönüyle aynı olmak zorunda değildir.

Eğik düzlemdeki bir cisim için ağırlık dikey aşağı yönlüdür. Hesaplamayı kolaylaştırmak için bu ağırlık, düzleme paralel mg sinθ ve düzleme dik mg cosθ bileşenleriyle gösterilebilir. Yüzeyin cisme uyguladığı normal kuvvet düzleme diktir ve yüzeyden dışarı doğrudur. İp gerilmesi ip boyunca, yani çoğunlukla eğik düzleme paralel ve makara yönünde çizilir. Sürtünme kuvveti ise cismin hareketine veya hareket etme eğilimine zıt yöndedir.

Asılı cisim için genellikle iki kuvvet bulunur: aşağı yönlü ağırlık mg ve yukarı yönlü ip gerilmesi T. Eğik düzlemdeki cisim için ise ağırlık bileşenleri, normal kuvvet, gerilme ve varsa sürtünme birlikte gösterilir. Aynı ipin iki cisme uyguladığı gerilme kuvvetleri ideal ipte eşit büyüklüktedir; her biri ip boyunca makaraya doğru yönelir, bu yüzden eğik düzlemdeki cisimde düzleme paralel, asılı cisimde düşey yukarı yöndedir.

Örneğin m1 eğik düzlemde, m2 ise makaranın diğer tarafında asılıysa ilk diyagramda m1 için düzlem boyunca yukarı T, aşağı doğru mg sinθ ve harekete karşı sürtünme gösterilir. Düzleme dik doğrultuda N ve mg cosθ bulunur. İkinci diyagramda m2 için yukarı T ve aşağı m2g çizilir. Diyagramda T'yi hem eğik düzlemdeki hem asılı cisimde aynı büyüklükte göstermek, ideal ip varsayımının sonucudur; kuvvetlerin yönleri ise ilgili cisme göre değişir.

Newton hareket yasalarıyla hareket denklemlerinin kurulması

Serbest cisim diyagramı tamamlandıktan sonra her cisim için Newton'un ikinci yasası uygulanır: seçilen eksen yönündeki net kuvvet, kütle ile ivmenin çarpımına eşittir. Önce hangi cismin hangi yönde hareket edeceği tahmin edilir ve o yön pozitif seçilir. Tahmin edilen yön ters çıkarsa ivmenin işareti negatif olur; bu, fiziksel bir hata değil başlangıç yönünün ters seçildiğini gösterir.

Eğik düzlemdeki m1 cisminin düzlem boyunca yukarı hareket ettiğini varsayalım. Sürtünme aşağı yönlü ise denklem T - m1g sinθ - f = m1a biçiminde yazılır. Asılı m2 cisminin aşağı hareket ettiğini varsayarsak m2g - T = m2a elde edilir. İp esnemez olduğundan iki cismin ivme büyüklüğü aynıdır; bu yüzden iki denklemde de aynı a kullanılır. Düzleme dik doğrultuda hareket yoksa N - m1g cosθ = 0 yazılır.

Sürtünmesiz durumda f = 0 olur ve denklemler T - m1g sinθ = m1a ile m2g - T = m2a biçimine indirgenir. Sürtünmeli durumda sürtünme kuvvetinin yönü, önceden varsayılan harekete karşı seçilir. Cisim henüz hareket etmiyorsa statik sürtünme hareket eğilimine karşı koyar; hareket ediyorsa kinetik sürtünme kullanılır. Sürtünme, temas yüzeyine paralel ve normal kuvvete bağlı bir temas kuvvetidir. Bu nedenle yalnızca ağırlığın tamamını değil, düzleme dik bileşenin oluşturduğu normal kuvveti dikkate almak gerekir.

Denklemler yazılırken aynı kuvvetin farklı cisimlerdeki yönleri karıştırılmamalıdır. T, eğik düzlemdeki cismi makara yönüne çekerken asılı cismi yukarı çeker. Bu iki kuvvet bir etki-tepki (Newton'un üçüncü yasası) çifti değildir; ikisi de ipin uyguladığı kuvvetlerdir. İpin m1'e uyguladığı kuvvetin tepkisi m1'in ipe, m2'ye uyguladığı kuvvetin tepkisi ise m2'nin ipe uyguladığı kuvvettir. İki gerilmenin eşit olması, ipin kütlesiz ve makaranın ideal kabul edilmesinin sonucudur; her cismin denkleminde T, o cisim için seçilen pozitif yöne göre işaret alır.

Sürtünmeli ve sürtünmesiz eğik düzlem durumları

Sürtünmesiz modelde eğik düzlem boyunca hareketi belirleyen başlıca kuvvetler, cismin düzleme paralel ağırlık bileşeni ve ip gerilmesidir. Sürtünme yoksa bu kuvvetlerin net etkisi daha doğrudan hesaplanır. Sürtünmeli modelde ise sürtünme, yüzey boyunca hareketi veya hareket eğilimini zıt yönde etkiler. Cisim hareket ediyorsa kinetik sürtünme, cisim duruyor fakat hareket etme eğilimindeyse statik sürtünme dikkate alınır. Statik sürtünmenin alabileceği en büyük değer genellikle kinetik sürtünmeden büyüktür.

Kinetik sürtünme için çoğu lise probleminde f_k = μ_k·N bağıntısı kullanılır. Eğik düzlemde N çoğu basit durumda mg cosθ olduğundan sürtünme de bu normal kuvvet üzerinden belirlenir. Ancak hareket yönü önce belirlenmelidir: m1 düzlem boyunca yukarı gidiyorsa sürtünme aşağı, aşağı gidiyorsa yukarı yönlü olur. Sürtünme, m1'in hareketini zorlaştırdığı için sistemin ivmesini sürtünmesiz duruma göre azaltır; hatta yeterince büyükse sistem varsayılan yönde harekete geçmez.

Örneğin asılı kütle aşağı inmeye çalışırken eğik düzlemdeki cisim yukarı çıkıyorsa m1 için hareket yönünde T, karşı yönde m1g sinθ ve f_k bulunur. Bu durumda denklemin T - m1g sinθ - f_k = m1a olması gerekir. Sistem hareketsiz kalabiliyorsa net kuvvet sıfır koşulu, hareket başladıktan sonra ise net kuvvetin ma olması kullanılır. Sabit hızla hareket de net kuvvetin sıfır olduğu özel bir durumdur.

İp uzunluğu kısıtı ve cisimlerin hareket yönleri

Esnemeyen ve kopmayan bir ipin uzunluğu sabit kalır. Bu uzunluk, eğik düzlemdeki ipin parçası ile asılı parçanın uzunluklarının toplamı olarak düşünülebilir. Bir parça belirli miktarda uzarsa diğer parça aynı miktarda kısalmak zorundadır. Bu nedenle bağlı cisimlerin yer değiştirme, hız ve ivme büyüklükleri eşittir; yönleri ise farklıdır: bir cisim makaraya yaklaşırken diğeri makaradan uzaklaşır. İp uzayabilseydi bu ilişki kurulamazdı.

Çözümde önce olası hareket yönlerinden biri seçilir. Örneğin asılı m2 aşağı inerken eğik düzlemdeki m1 yukarı çıkıyorsa her iki cisim için aynı a büyüklüğü kullanılır. Kuvvet denklemlerindeki işaretler seçilen pozitif yönlere göre yazılır. Denklemlerin çözümünde a negatif çıkarsa gerçek hareketin varsayılan yönün tersi olduğu anlaşılır; bu durumda sürtünmenin yönü de gerçek harekete göre yeniden değerlendirilmelidir. İp uzunluğu kısıtı, cisimlerin bağımsız ivmelere sahip olmasını engelleyen temel bağlantıdır.

İdeal makarada ipin bir tarafındaki hareket diğer tarafa aynı miktarda aktarılır. Örneğin m2'nin 4 cm aşağı inmesi, eğik düzlemdeki m1'in 4 cm yukarı çıkmasına karşılık gelir. Bu ilişki yalnızca ipin gerilmesini ve uzunluğunu koruyan ideal bağlantı modeli için geçerlidir. İp gevşerse gerilme kuvveti sürdürülemez ve cisimler artık aynı kısıta göre hareket etmez.

Sistemin ivmesi ve ip gerilmesinin hesaplanması

İvme ve gerilme hesabında önce iki cisim için Newton denklemleri yazılır, sonra bu denklemler birlikte çözülür. Sürtünmesiz ve m2'nin aşağı hareket ettiği durumda denklemler T - m1g sinθ = m1a ve m2g - T = m2a olur. İki denklem toplandığında T yok edilir ve sistemin ivmesi a = (m2g - m1g sinθ) / (m1 + m2) bulunur. Bu ifade, sistemi hareket ettiren net etkinin toplam kütleye bölünmesi olarak yorumlanabilir. İvme bulunduktan sonra denklemlerden biri kullanılarak T = m1a + m1g sinθ ya da T = m2g - m2a hesaplanır.

Örneğin m1 = 2 kg kütleli cisim 30° eğimli sürtünmesiz düzlemde, m2 = 2 kg kütleli cisim de asılı olsun. g = 10 m/s² alınırsa m1'in eğim boyunca aşağı çeken ağırlık bileşeni 2·10·sin30° = 10 N, asılı cismin ağırlığı ise 20 N olur. Bu nedenle m2 aşağı, m1 yukarı hareket eder. İvme a = (20 - 10) / (2 + 2) = 2,5 m/s² bulunur. Gerilme, m2 için yazılan denklemden T = 20 - 2·2,5 = 15 N çıkar. Aynı değer eğik düzlemdeki denklemde de T = 2·2,5 + 10 = 15 N olarak elde edilir.

Sürtünme varsa önce hareket yönüne karşı koyan sürtünme kuvveti denkleme eklenir. Örneğin m1 yukarı gidiyorsa a = (m2g - m1g sinθ - μ_k·m1g cosθ) / (m1 + m2) olur. m1 = m2 = 2 kg, θ = 37° (sin37° = 0,6, cos37° = 0,8), μ_k = 0,25 ve g = 10 m/s² alınsın: m1g sinθ = 12 N, N = 16 N ve f_k = 0,25·16 = 4 N bulunur. Sistem harekete geçmişse a = (20 - 12 - 4) / (2 + 2) = 1 m/s² ve T = 20 - 2·1 = 18 N olur; eğik düzlemdeki denklem de T = 2·1 + 12 + 4 = 18 N verir. Sistem dengedeyse a = 0 olur ve denklemler kuvvetlerin dengelenmesini ifade eder. Sabit hızlı hareket de a = 0 ile tanımlanır; ancak cisim hareket ediyorsa kinetik sürtünme hesaba katılır. Sonucun işareti, başlangıçta seçilen hareket yönünün doğru olup olmadığını kontrol etmek için kullanılır.