Doğruda ve Üçgende Açılar: 180° ve Dış Açı Soruları

Bir doğru üzerindeki 180° nasıl kullanılır?

Bir doğru üzerinde yan yana bulunan ve ortak bir kenarı paylaşan iki komşu açı, birlikte bir doğru açı oluşturur. Bu nedenle toplamları 180°dir. Örneğin bir doğru üzerindeki açılar 68° ve x ise:

$x + 68° = 180°$

$x = 112°$

Buradaki çıkarma işlemi, açıların komşu olup aynı doğru açıyı oluşturmasına dayanır. Her yan yana görünen açı çifti için otomatik olarak 180° yazılmaz; iki açının dış sınırlarının aynı doğru üzerinde olması gerekir.

İki doğru kesiştiğinde dört açı oluşur. Karşılıklı konumda bulunan açılara ters açılar denir ve ölçüleri birbirine eşittir. Bir açı 74° ise karşısındaki ters açı da 74° olur. Bu açının yanında bulunan iki açı ise doğru açı ilişkisi nedeniyle $180° - 74° = 106°$ olur. Böylece kesişen iki doğrunun oluşturduğu dört açı, sırayla 74°, 106°, 74° ve 106° biçiminde bulunabilir.

Bu ilişkilerde açıların şekil üzerindeki konumu önemlidir: karşılıklıysa eşitlik, yan yanaysa çoğunlukla 180°ye tamamlama kullanılır.

Paralel iki doğruyu kesen doğru: eşit ve bütünler açılar

Bir kesen, iki paralel doğruyu kestiğinde çeşitli açı çiftleri oluşur. Kaynaklarda paralel doğruların bir kesenle yaptığı açı ilişkileri, üçgen sorularındaki yardımcı adımlar arasında verilir. Ancak bu ilişkilerin kullanılabilmesi için iki doğrunun gerçekten paralel olduğunun belirtilmesi veya şekilden paralellik işaretiyle anlaşılması gerekir.

Paralel doğrularda karşılık gelen açılar eşittir. Örneğin üst kesişimdeki bir açı 52° ve alt kesişimde ona karşılık gelen açı x ise $x = 52°$ yazılır. Aynı tarafta bulunan iç açılar ise bir doğru açıyı tamamlayacak biçimde toplam 180° olabilir. Bu durumda x, $180° - 52° = 128°$ olur.

Soru çözerken açının konumunu şu sırayla kontrol etmek faydalıdır:

1. İki çizgi paralel mi?
2. Açılar kesenin aynı tarafında mı, karşılık gelen konumda mı?
3. Eşitlik mi, 180°lik bütünler ilişki mi kuruluyor?

Paralellik verilmemişse yalnızca şeklin yaklaşık çizimine bakarak iki açıyı eşit kabul etmek doğru değildir. Çizim ölçekli olmayabilir.

Üçgenin iç açı toplamı ile eksik açıyı bulma

Bir üçgenin üç iç açısının toplamı 180°dir. Bu sonuç, üçgenin dar, dik veya geniş açılı olmasından bağımsızdır; üçgen düzlemdeki üç kenarlı kapalı bir şekil olduğu sürece uygulanır. Açıları $A$, $B$ ve $C$ ile gösterirsek:

$A + B + C = 180°$

İki açı bilindiğinde üçüncü açı, bilinen iki açının toplamının 180°den çıkarılmasıyla bulunur. Örneğin açıları 47° ve 63° olan bir üçgende üçüncü açı:

$180° - (47° + 63°) = 180° - 110° = 70°$

Bulunan değeri kontrol etmek için üç açıyı yeniden toplamak gerekir: $47° + 63° + 70° = 180°$.

Bu toplam, üçgenin türünü belirlemeye de yardım eder. Bütün açılar 90°den küçükse üçgen dar açılıdır. Bir açı 90° ise dik üçgen, bir açı 90°den büyükse geniş açılı üçgendir. Üçgende iki geniş açı bulunamaz; çünkü iki açının toplamı daha 180°yi aşar ve üçüncü açı için pozitif bir değer kalmaz. Benzer şekilde üçgende iki dik açı da bulunamaz.

Dış açı ile komşu olmayan iç açıların ilişkisi

Bir üçgende bir kenar uzatıldığında, uzatma ile komşu iç açının yanında bir dış açı oluşur. Dış açı ile kendisine komşu iç açı bir doğru üzerinde bulunduğu için toplamları 180°dir:

$dış açı + komşu iç açı = 180°$

Ayrıca üçgenin dış açı özelliğine göre dış açı, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir. Üçgenin iç açıları $A$, $B$, $C$ olsun ve $C$ açısının bulunduğu kenar uzatılsın. Bu durumda oluşan dış açı:

$dış açı = A + B$

olur. Çünkü $A + B + C = 180°$ ve dış açı $= 180° - C$dir.

Önemli sınır durumu şudur: Dış açı, kendisine komşu olmayan iç açıların her birinden büyüktür; kaynakta verilen dış açı eşitsizliği bu karşılaştırmayı belirtir. Fakat dış açının komşu iç açıdan büyük olması yalnızca komşu iç açı 90°den küçük olduğunda geçerlidir. Çünkü dış açı $= 180° - komşu iç açı$dır. Komşu iç açı 120° ise dış açı 60° olur; bu durumda dış açı komşu iç açıdan büyük değildir.

Bir köşede iki farklı dış açı yönü çizilebilir ve bunlar ölçüm yönüne göre birbirine bağlıdır. Soru çözerken hangi kenarın uzatıldığını ve hangi iç açının dış açıya komşu olduğunu açıkça işaretlemek gerekir.

Dik üçgende 90°nin tamamlayıcısı nasıl bulunur?

Bir açısı 90° olan üçgene dik üçgen denir. 90°lik açıyı oluşturan kenarlar dik kenar, bu açının karşısındaki kenar hipotenüstür. Hipotenüs, dik açının karşısında bulunduğu için bu adlandırma yalnızca dik üçgende kullanılır.

Dik üçgende iç açı toplamı şöyle düzenlenir:

$90° + A + B = 180°$

Buradan dar açıların toplamı:

$A + B = 90°$

olur. Örneğin bir dar açı 38° ise diğer dar açı $90° - 38° = 52°dir$. Bu sonuç, üçgenin iç açı toplamından çıkar; ayrı ve bağımsız bir ezber kuralı değildir.

Dik üçgende iki dar açı bulunur. Bu nedenle 90°den büyük bir açı dik üçgende yer alamaz. Ayrıca bir dik üçgende hipotenüs, dik açının karşısındaki kenardır; şekil üzerindeki en uzun çizgiyi yalnızca çizime bakarak seçmek yerine önce 90°lik açının karşısını belirlemek daha güvenlidir.

Çözümlü örnekler: doğru açıyı ve dış açıyı birlikte kullanma

Örnek 1 — Kesişen doğrular:

Verilenler: İki doğru kesişiyor. Karşılıklı açılardan biri 72° olsun. Bu açının yanındaki açı x olarak verilmiş.

Çözüm adımları:

1. x açısı, 72°lik açıyla yan yanadır ve ikisi bir doğru açı oluşturur.
2. Bu nedenle $x + 72° = 180°$ yazılır.
3. $x = 180° - 72° = 108°$ bulunur.
4. Kontrol için x açısının karşısındaki ters açı da 108° olmalıdır. Böylece dört açı 72°, 108°, 72° ve 108° olur.

Sonuç: $x = 108°$.

Örnek 2 — Üçgen dış açısı:

Verilenler: Bir üçgende iç açılar 48° ve 67°; üçüncü köşedeki dış açı x olarak verilmiş olsun. x, verilen iki iç açıya komşu olmayan üçüncü köşede oluşan dış açıdır.

Çözüm adımları:

1. Dış açı özelliğine göre x, kendisine komşu olmayan iki iç açının toplamına eşittir.
2. $x = 48° + 67°$ yazılır.
3. $x = 115°$ bulunur.
4. Alternatif kontrol yapılabilir: Üçüncü iç açı $180° - (48° + 67°) = 65°$ olur. Dış açı, bu iç açıyla komşu olduğundan $180° - 65° = 115°$ çıkar.

Sonuç: $x = 115°$.

İkinci çözüm, dış açı teoremini hatırlamadığınızda bile iç açı toplamı ve doğru açı ilişkisiyle sonuca ulaşabileceğinizi gösterir.

Sık yapılan hatalar ve karıştırılan sınır durumları

1. Üçgenin dış açılarını 180° sanmak: Tek bir dış açı, komşu iç açıyla birlikte 180° oluşturur. Birer dış açı seçildiğinde bunların toplamı 360° olarak ele alınabilir; tek dış açının ölçüsü 180° değildir.

2. Dış açıyı komşu olmayan iki iç açıdan yalnızca biriyle eşitlemek: Doğru ilişki $dış açı = iki komşu olmayan iç açının toplamı$ biçimindedir. Örneğin bu iki açı 40° ve 55° ise dış açı 95°dir; 40° veya 55° değildir.

3. Her dış açı komşu iç açıdan büyüktür demek: Bu sonuç koşulsuz değildir. Dış açı $180° - komşu iç açı$ olduğundan karşılaştırma yapılmalıdır. Komşu iç açı 80° ise dış açı 100° ve daha büyüktür; komşu iç açı 120° ise dış açı 60° ve daha küçüktür.

4. Şeklin görünüşüne güvenmek: Bir açı küçük veya büyük çizilmiş olabilir. Ölçü verilmedikçe yalnızca çizimin görüntüsünden eşitlik ya da paralellik sonucu çıkarılamaz.

5. Dik kenar ile hipotenüsü karıştırmak: Dik kenarlar 90°lik açıyı oluşturur. Hipotenüs bu açının karşısındaki kenardır.

6. Üçüncü açıyı bulurken toplamı kontrol etmemek: Sonuçta üç açı toplanmalı ve 180° bulunmalıdır. Pozitif olmayan ya da 180°yi aşan bir değer, verilenlerde veya işlemde sorun olduğunu gösterir.

7. Ters açı ile komşu açıyı karıştırmak: Kesişimde karşılıklı açılar eşittir; yan yana olan açılar ise doğru açı nedeniyle toplam 180° olacak şekilde değerlendirilir.