Çokgenler: Kenar Sayısı, Açıları ve Çözümlü Sorular

Bir şeklin çokgen sayılması için gereken üç koşul

Çokgen, düzlemde sonlu sayıda noktanın doğru parçalarıyla birleştirilmesi sonucu oluşan kapalı şekildir. İlk kaynakta vurgulanan tanıma göre, kullanılan noktaların herhangi ardışık üçü aynı doğru üzerinde bulunmamalıdır. Bu koşul, bir köşenin aslında gereksiz bir ara nokta olmasını önler.

Bir şeklin çokgen olması için şu koşullar birlikte aranır:

• Kenarlar doğru parçalarıdır: Kenarların düz olması gerekir. Daire veya elips gibi eğri sınırlar bu nedenle çokgen değildir.
• Şekil kapalıdır: Son kenar, başlangıç noktasına bağlanmalıdır. Açık bir çizgi çokgen oluşturmaz.
• En az üç kenar bulunur: İki doğru parçası, düzlemde bir bölgeyi çevreleyen kapalı çokgen oluşturmak için yeterli değildir.
• Köşeler sonlu sayıdadır: Çokgen, sonlu sayıda kenar ve köşeden meydana gelir.

Bir çokgende her kenar iki köşeyi birleştirir. Bu nedenle kenar sayısı $n$ ise köşe sayısı da $n$ olur. Aynı şekilde, her köşede bir iç açı bulunduğundan, basit bir çokgende iç açı sayısı da $n$'dir.

Örneğin üç kenarlı kapalı şekil üçgen, dört kenarlı kapalı şekil dörtgen, beş kenarlı kapalı şekil beşgen, altı kenarlı kapalı şekil altıgen olarak adlandırılır. Genel olarak kenar sayısı belirtilen şekil için n-gen ifadesi kullanılabilir.

Kenar sayısı arttığında hangi ölçüler değişir?

Kenar sayısı, çokgenin adını ve iç açıları toplamını belirleyen temel veridir. Ancak yalnızca kenar sayısını bilmek, şeklin düzgün olup olmadığını veya tüm kenar uzunluklarını söylemez. Örneğin her altıgenin altı kenarı vardır; fakat bu kenarların eşit olması zorunlu değildir.

Bir $n$-gen için:

• Kenar sayısı $n$'dir.
• Köşe sayısı $n$'dir.
• İç açı sayısı $n$'dir.
• İç açıları toplamı $(n-2) \cdot 180°$ değeridir.

Kenar sayısı arttıkça iç açıların toplamı da artar. Örneğin bir üçgende toplam $180°$, bir dörtgende $360°$, bir beşgende $540°$, bir altıgende $720°$ olur. Burada dikkat edilmesi gereken nokta, toplamın artmasının her bir açının da mutlaka artacağı anlamına gelmemesidir; tek tek açıların ölçüleri şeklin düzgün olup olmamasına ve diğer açıların değerlerine bağlıdır.

İç açı toplamı formülündeki $n-2$ sayısı, çokgenin bir köşesinden çizilebilen köşegenlerle elde edilen üçgen sayısını gösterir. Basit bir dışbükey çokgende bir köşeden, kendisi ve iki komşusu dışındaki köşelere çizilen köşegenler şekli $n-2$ üçgene ayırır. Her üçgenin açıları toplamı $180°$ olduğundan toplam $(n-2) \cdot 180°$ olur.

Dışbükey ve içbükey çokgeni açı üzerinden ayırma

Çokgenleri sınıflandırırken en önemli ayrımlardan biri dışbükey-içbükey ayrımıdır. Bu sınıflandırma, şeklin görünüşünden çok iç açıların ölçüsü ve şeklin kenarlarının konumuyla ilgilidir.

Dışbükey çokgen: Basit bir dışbükey çokgende bütün iç açılar $180°$'den küçüktür. Şeklin herhangi iki noktasını birleştiren doğru parçası, şeklin içinde veya sınırında kalır. İlköğretim ve lise düzeyindeki standart sorularda, girintisi olmayan çokgenler genellikle dışbükey olarak tanınır.

İçbükey çokgen: Basit bir içbükey çokgende en az bir iç açı $180°$'den büyüktür. Şeklin sınırında içeri doğru bir girinti bulunur. Bu girinti, bazı köşelerden çizilen köşegenlerin şeklin dışına çıkmasına neden olabilir.

Sınır durumuna dikkat edilmelidir: İç açının tam $180°$ olması, ilgili üç ardışık köşenin doğrusal hale gelmesi demektir. Bu durum, çokgen tanımındaki 'ardışık üç noktanın doğrusal olmaması' koşuluyla bağdaşmaz. Bu nedenle standart çokgen sınıflandırmasında iç açılar $180°$'ye eşit kabul edilmez.

Bir şeklin yıldız biçiminde görünmesi de tek başına onun içbükey çokgen olduğunu göstermez. Kenarların kesiştiği yıldız biçimli şekiller, basit çokgen tanımındaki sınır koşullarını ihlal edebilir. Sınav sorularında, kenarların yalnızca ardışık köşelerde birleşip başka noktalarda kesişmediği şekiller tercih edilir.

Düzgün çokgende eşitlik bilgisi nasıl kullanılır?

Düzgün çokgen, bütün kenar uzunlukları birbirine ve bütün iç açıları birbirine eşit olan çokgendir. Bu tanım iki ayrı eşitlik içerir: Sadece kenarların eşit olması düzgünlük için yeterli değildir; iç açıların da eşit olması gerekir.

Bir düzgün $n$-genin iç açıları toplamı yine $(n-2) \cdot 180°$ olur. Bütün iç açılar eşit olduğundan tek bir iç açı şu şekilde bulunur:

$\text{Bir iç açı} = \frac{(n-2) \cdot 180°}{n}$

Örneğin düzgün altıgende $n=6$ alınır:

$\frac{(6-2) \cdot 180°}{6} = \frac{720°}{6} = 120°$

Dolayısıyla düzgün altıgenin her iç açısı $120°$'dir. Bu sonuç yalnızca altıgenin düzgün olduğu bilgisi verildiğinde her açı için kullanılabilir. Sıradan, yani kenar ve açıları farklı olabilen bir altıgende bir iç açıyı bulmak için yalnızca $n=6$ bilgisi yeterli değildir.

Düzgün çokgenlerde eşit kenarlar çevre hesabını da kolaylaştırır. Bir kenarın uzunluğu $a$ ise çevre $n \cdot a$ olur. Bu ifade düzgünlükten değil, tüm kenarların uzunluğunun $a$ olmasından kaynaklanır. Düzgün olmayan bir çokgende çevre, bütün kenar uzunluklarının ayrı ayrı toplanmasıyla bulunur.

Çokgen formüllerini hangi bilgiyle eşleştirmelisiniz?

Soruda istenen büyüklük ile verilen koşul aynı şey değildir. Önce sorunun iç açı toplamını mı, tek bir iç açıyı mı, çevreyi mi yoksa kenar sayısını mı sorduğu belirlenmelidir.

• İç açıların toplamı soruluyorsa: $S=(n-2)\cdot180°$ kullanılır. Düzgünlük gerekmez.
• Düzgün çokgenin bir iç açısı soruluyorsa: $A=\frac{(n-2)\cdot180°}{n}$ kullanılır. Burada bütün açıların eşit olduğu bilgisi gereklidir.
• Çevre soruluyorsa: Kenar uzunlukları toplanır. Düzgün $n$-gende kenar uzunluğu $a$ ise $Ç=n\cdot a$ olur.
• Kenar sayısı soruluyorsa: Verilen açı toplamı veya düzgün çokgende bir açı, ilgili formülde yerine yazılarak $n$ için denklem çözülür.

İç açı toplamı ile dış açıların toplamı birbirine karıştırılmamalıdır. Verilen kaynaklarda temel olarak iç açı toplamı formülü açıklanmaktadır. Dış açı toplamı kullanılacaksa, bunun dışbükey bir çokgende her köşeden aynı yönde alınan birer dış açı için geçerli olduğu ayrıca belirtilmelidir; iç açı toplamı formülüyle aynı toplam değildir.

Çözümlü örnekler: verilen bilgiden sonuca ulaşma

Örnek 1 — Düzgün olmayan beşgenin iç açı toplamı

Verilenler: Şekil beşgendir; yani $n=5$. Şeklin düzgün olduğu söylenmemiştir.

Çözüm adımları:

1. İç açı toplamı formülünü yazalım: $S=(n-2)\cdot180°$.
2. $n=5$ değerini yerine koyalım: $S=(5-2)\cdot180°$.
3. İşlemi yapalım: $S=3\cdot180°=540°$.

Sonuç: Beşgenin iç açıları toplamı $540°$'dir. Şeklin düzgün olmaması, toplamı değiştirmez; yalnızca açıların tek tek eşit olduğunu söylememize engel olur.

Örnek 2 — Düzgün çokgende kenar sayısını bulma

Verilenler: Düzgün bir çokgenin bir iç açısı $150°$ olsun. Kenar sayısı $n$ aranıyor.

Çözüm adımları:

1. Düzgün çokgende bir iç açı formülünü yazalım: $\frac{(n-2)\cdot180°}{n}=150°$.
2. Payı açalım: $180n-360=150n$.
3. Benzer terimleri bir tarafa toplayalım: $30n=360$.
4. Her iki tarafı $30$'a bölelim: $n=12$.

Sonuç: Çokgen 12 kenarlıdır; yani düzgün onikigen söz konusudur. Burada 'düzgün' ifadesi olmasaydı $150°$ olarak verilen tek bir iç açıdan tüm kenar sayısını bu formülle bulamazdık.

Örnek 3 — Düzgün altıgenin bir açısı, çevresi ve alanı

Verilenler: Bir düzgün altıgenin bir kenarı $4$ cm'dir.

Çözüm adımları:

1. Altıgen olduğu için $n=6$ alınır.
2. Bir iç açı: $\frac{(6-2)\cdot180°}{6}=120°$.
3. Çevre: $Ç=6\cdot4=24$ cm.
4. Düzgün altıgen, kenar uzunluğu 4 cm olan 6 eşkenar üçgene ayrılabilir. Bir eşkenar üçgenin alanı $\frac{4^2\sqrt{3}}{4}=4\sqrt{3}$ cm² olduğundan altıgenin alanı $A=6\cdot4\sqrt{3}=24\sqrt{3}$ cm² olur.

Sonuç: Her iç açı $120°$, çevre $24$ cm, alan $24\sqrt{3}$ cm²'dir.