12. Sınıf Fizik Rehberi: Çembersel Hareketten BHH’ye

Düzgün çembersel harekette hız sabit olsa da vektör sabit değildir

Bir cisim yarıçapı $r$ olan çembersel yörüngede eşit zaman aralıklarında eşit açılar tarıyorsa düzgün çembersel hareket yapar. Bu modelde süratin büyüklüğü sabittir; ancak hız vektörünün yönü her an değiştiği için cisim ivmelidir. İvmenin yönü merkeze doğrudur ve büyüklüğü $a_m = v^2/r = \omega^2r$ bağıntısıyla bulunur.

Açısal hız $\omega$, birim zamanda taranan açıyı ifade eder. Bir tam tur $2\pi$ radyan olduğundan $\omega = 2\pi/T = 2\pi f$ yazılır. Burada $T$ periyot, yani bir turun tamamlanma süresi; $f$ ise frekans, yani bir saniyedeki tur sayısıdır. Teğetsel hız ile açısal hız arasındaki ilişki $v = \omega r$ şeklindedir. Bu nedenle aynı açısal hızla dönen iki noktadan yarıçapı büyük olanın teğetsel sürati daha büyüktür.

Merkezcil kuvvet ayrı ve yeni bir kuvvet türü değildir; merkeze doğru net kuvvetin adıdır. Büyüklüğü $F_m = mv^2/r = m\omega^2r$ olur. Bu net kuvveti sürtünme, ip gerilmesi, kütle çekim veya elektriksel kuvvet sağlayabilir. Örneğin yatay virajda aracı daire üzerinde tutan kuvvet çoğu ideal modelde lastik-yol arasındaki statik sürtünmedir. Merkezcil kuvvetin yok olması, cismin merkezden dışarı doğru kuvvetle fırlaması anlamına gelmez; cisim o anda sahip olduğu teğet doğrultuda hareketine devam eder.

Bir soruda önce kuvvet diyagramı çizilmeli, ardından merkeze doğru net kuvvet belirlenmelidir. Düzgün çembersel harekette merkezcil ivmenin bulunması, teğetsel ivmenin sıfır olduğu ideal model içindir. Sürat değişiyorsa merkeze doğru ivmeye ek olarak teğetsel ivme de bulunur.

Yuvarlanan cismin enerjisi iki hareketin toplamıdır

Bir tekerlek veya silindir kaymadan yuvarlanıyorsa kütle merkezi öteleme yaparken cisim kendi ekseni etrafında da döner. Bu hareketi yalnızca öteleme ya da yalnızca dönme olarak değerlendirmek eksik olur. Kaymadan yuvarlanma koşulu $v_{KM} = \omega R$ biçimindedir; burada $v_{KM}$ kütle merkezinin hızı, $R$ cismin yarıçapıdır. Bu koşul temas noktasının zemine göre anlık hızının sıfır olmasını ifade eder.

Dönme hareketinde kütlenin etkisini eylemsizlik momenti belirler: $I = \sum mr^2$. Sürekli kütle dağılımında toplam yerine uygun integral veya bilinen cisim bağıntısı kullanılır. Kütlenin dönme ekseninden uzaklaşması $I$ değerini büyütür; bu durumda aynı açısal ivmeyi oluşturmak daha zor olabilir. Eylemsizlik momenti yalnızca cismin kütlesine değil, kütlenin eksene göre dağılımına da bağlıdır.

Yuvarlanan cismin toplam kinetik enerjisi, kütle merkezinin öteleme ve cismin kütle merkezi etrafındaki dönme enerjilerinin toplamıdır: $E_k = \frac{1}{2}mv_{KM}^2 + \frac{1}{2}I_{KM}\omega^2$. Bu ifade, cismin kaymadan yuvarlandığı ve dönme ekseninin kütle merkezi etrafında ele alındığı tipik durum içindir. Kayma varsa $v_{KM}=\omega R$ koşulu kullanılamaz.

AYT sorularında aynı kütle ve yarıçapa sahip iki cismin eğik düzlemde yuvarlanması karşılaştırılırken yalnızca kütleye bakılmaz. Kütlesi eksene daha uzak dağılmış cismin eylemsizlik momenti daha büyük olduğundan enerji paylaşımı ve ivme farklı olabilir. Bu nedenle şekil veya verilen $I$ değeri dikkate alınmalıdır.

Açısal momentumda korunumu belirleyen şey dış torktur

Bir cismin sabit bir eksen etrafındaki açısal momentumu $L = I\omega$ ile tanımlanır. $I$ dönmeye karşı eylemsel direnci, $\omega$ ise açısal hızı gösterir. Açısal momentumun yönü dönme ekseni boyunca sağ el kuralıyla belirlenir; sayısal sorularda ise çoğunlukla büyüklük üzerinden işlem yapılır.

Dış torkların bileşkesi sıfırsa açısal momentum korunur: $L_{ilk}=L_{son}$ veya $I_i\omega_i=I_s\omega_s$. Korunum koşulu, sistemin içindeki kuvvetlerin yok olması değil, sistem dışından dönmeyi değiştirecek net tork gelmemesidir. Buz patencisinin kollarını gövdesine çekmesi bunun tipik örneğidir: $I$ azalırsa $L$ sabit kalabilmesi için $\omega$ artar.

Bir cismin dönme durumunu değiştirmenin diğer yolu tork uygulamaktır. Sabit eksen etrafında tork ile açısal ivme arasındaki ilişki $\tau = I\alpha$ biçimindedir. Burada tork, kuvvetin dönme eksenine göre döndürme etkisidir; kuvvetin doğrultusu eksenden geçiyorsa tork sıfır olabilir. Bu nedenle yalnızca kuvvetin büyüklüğüne değil, kuvvet koluna ve uygulama yönüne de bakılır.

Gezegenlerin yörünge hareketinde açısal momentum bağlantısı da önemlidir. Dış torkun ihmal edildiği merkezi kuvvet hareketlerinde gezegen-Güneş doğrusu eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. Bu ifade, yörünge hızının her noktada aynı olduğunu söylemez; eliptik yörüngede gezegen Güneş'e yaklaşırken daha hızlı, uzaklaşırken daha yavaş hareket edebilir.

Kütle çekim ve Kepler yasaları yörünge sorularını bağlar

İki noktasal kütle arasındaki kütle çekim kuvvetinin büyüklüğü $F = Gm_1m_2/r^2$ bağıntısıyla verilir. $r$, kütle merkezleri arasındaki uzaklıktır; yüzeyden ölçülen yükseklik doğrudan $r$ yerine yazılamaz, gerekirse gezegen yarıçapına eklenir. $G = 6{,}67\times10^{-11}\ \mathrm{N\,m^2/kg^2}$ değerine sahiptir. Uzaklık iki katına çıkarsa diğer değişkenler sabitken kuvvet dörtte bire iner; çünkü uzaklık karesiyle ters orantı vardır.

Dünya yüzeyine yakın yüksekliklerde ağırlık yaklaşık $mg$ ile ifade edilir. Ancak uydu gibi Dünya merkezinden uzak bir cisim için çekim ivmesi uzaklığa bağlıdır: $g_r = GM/r^2$. Bu nedenle yörüngedeki astronotun ağırlıksız hissetmesi, Dünya'nın çekim kuvvetinin sıfır olduğu anlamına gelmez; astronot ve araç birlikte serbest düşme hâlindedir.

Dairesel uydu yörüngesinde kütle çekim kuvveti merkezcil kuvveti sağlarsa $GMm/r^2 = mv^2/r$ yazılır ve $v = \sqrt{GM/r}$ elde edilir. Buradan dairesel yörüngede yarıçap arttıkça hızın azaldığı sonucu çıkar. Yörünge periyodu için $T = 2\pi\sqrt{r^3/GM}$ bağıntısı kullanılır; dolayısıyla daha uzak dairesel yörüngenin periyodu daha uzundur.

Kepler yasaları, yörüngelerin genel özelliklerini açıklar. Birinci yasaya göre gezegenler, Güneş'in odaklardan birinde bulunduğu eliptik yörüngelerde dolanır. İkinci yasa, gezegen-Güneş doğrusunun eşit zamanlarda eşit alanlar taradığını belirtir. Üçüncü yasa $T^2\propto a^3$ biçimindedir; burada $a$ elipsin yarı büyük eksenidir. Dairesel yörüngede $a$, yörünge yarıçapına eşittir. İki gezegen için aynı merkezi cisim çevresinde karşılaştırma yapılacaksa $T_1^2/T_2^2 = a_1^3/a_2^3$ oranı kullanılabilir.

Basit harmonik harekette denge noktası ve enerji birlikte okunur

Basit harmonik hareket, cismin denge noktası çevresinde tekrarlı hareket yaptığı ve denge konumundan uzaklığıyla orantılı geri çağırıcı ivmeye sahip olduğu ideal harekettir. Temel koşul $a=-\omega^2x$ bağıntısıdır. Eksi işareti, ivmenin seçilen pozitif konuma zıt yönde olduğunu gösterir; bu, ivmenin her noktada aynı büyüklükte olduğu anlamına gelmez.

Yay-kütle sistemi için, ideal yay ve küçük salınımlar modelinde $\omega=\sqrt{k/m}$ ve $T=2\pi\sqrt{m/k}$ olur. Kütle artarsa periyot artar; yay sabiti $k$ artarsa periyot azalır. Düşey yayda denge konumu yer çekimi nedeniyle değişebilir, ancak ideal modelde periyot bu denge konumu etrafındaki salınım için yine $m$ ve $k$ ile belirlenir.

Basit sarkaç için $T=2\pi\sqrt{L/g}$ bağıntısı küçük açılı salınımlar koşulunda geçerlidir. Bu formülde kütle bulunmadığı için aynı uzunluktaki ideal sarkaçların periyotları, küçük açı koşulunda kütleden bağımsız karşılaştırılır. Büyük açılarda bu bağıntı yaklaşık olmaktan çıkar; bu sınır durum soruda özellikle belirtilmese bile fiziksel modelin koşulu olarak bilinmelidir.

Genlik $A$, denge konumundan en uzak noktadır. İdeal yay-kütle sisteminde toplam mekanik enerji $E=\frac{1}{2}kA^2$ olur. Uç noktada hız sıfır, yay potansiyel enerjisi en büyük; denge noktasında hız en büyük ve yay potansiyel enerjisi en küçük değerdedir. Frekans $f=1/T$, açısal frekans ise $\omega=2\pi f$ olduğundan bu üç büyüklük birbirine karıştırılmamalıdır. BHH, düzgün çembersel hareketin bir eksen üzerindeki izdüşümü olarak modellenebilir; fakat gerçek hareketin kendisi çember üzerinde değildir.

Çözümlü örnekler: formülden önce model seçimi

Örnek 1 — Düzgün çembersel hareket:

Verilenler: Kütlesi $m=2\ \mathrm{kg}$ olan cisim, yarıçapı $r=0{,}5\ \mathrm{m}$ olan çember üzerinde $v=3\ \mathrm{m/s}$ süratle hareket ediyor. Merkezcil kuvvet isteniyor.

Çözüm adımları:

1. Hareket düzgün çembersel olduğundan merkeze doğru net kuvvet için $F_m=mv^2/r$ kullanılır.
2. Veriler yerine yazılır: $F_m=2\times3^2/0{,}5$.
3. $3^2=9$ olduğundan $F_m=18/0{,}5=36\ \mathrm{N}$ bulunur.

Sonuç: Merkeze doğru net kuvvetin büyüklüğü $36\ \mathrm{N}$'dur. Bu sonuç, kuvvetin kaynağının sürtünme, gerilme veya başka bir kuvvet olduğunu tek başına söylemez; kaynak için ayrıca kuvvet diyagramı gerekir.

Örnek 2 — Kepler'in üçüncü yasası:

Verilenler: Aynı yıldızın çevresinde dolanan iki gezegenin yarı büyük eksenleri $a_1=1$ birim ve $a_2=4$ birimdir. Birinci gezegenin periyodu $T_1=1$ yıl kabul ediliyor. İkinci gezegenin periyodu isteniyor.

Çözüm adımları:

1. Aynı merkezi cisim için $T^2\propto a^3$ oranı yazılır: $T_2^2/T_1^2=a_2^3/a_1^3$.
2. Veriler yerleştirilir: $T_2^2/1^2=4^3/1^3=64$.
3. Karekök alınır: $T_2=8$ yıl.

Sonuç: İkinci gezegenin periyodu $8$ yıldır. Uzaklık dört katına çıktığında periyot dört katına değil, $4^{3/2}=8$ katına çıkar. Bu oran yalnızca aynı merkezi cisim çevresindeki karşılaştırmada doğrudan kullanılmalıdır.